LeetCode Binary Search Summary 二分搜索法小结

 

二分查找法作为一种常见的查找方法,将原本是线性时间提升到了对数时间范围,大大缩短了搜索时间,具有很大的应用场景,而在 LeetCode 中,要运用二分搜索法来解的题目也有很多,但是实际上二分查找法的查找目标有很多种,而且在细节写法也有一些变化。之前有网友留言希望博主能针对二分查找法的具体写法做个总结,博主由于之前一直很忙,一直拖着没写,为了树立博主言出必行的正面形象,不能再无限制的拖下去了,那么今天就来做个了断吧,总结写起来~ (以下内容均为博主自己的总结,并不权威,权当参考,欢迎各位大神们留言讨论指正)

根据查找的目标不同,博主将二分查找法主要分为以下五类:

 

第一类: 需查找和目标值完全相等的数

这是最简单的一类,也是我们最开始学二分查找法需要解决的问题,比如我们有数组 [2, 4, 5, 6, 9],target = 6,那么我们可以写出二分查找法的代码如下:

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return -1;
}

 

会返回3,也就是 target 的在数组中的位置。注意二分查找法的写法并不唯一,主要可以变动地方有四处:

第一处是 right 的初始化,可以写成 nums.size() 或者 nums.size() - 1。

第二处是 left 和 right 的关系,可以写成 left < right 或者 left <= right。

第三处是更新 right 的赋值,可以写成 right = mid 或者 right = mid - 1。

第四处是最后返回值,可以返回 left,right,或 right - 1。

但是这些不同的写法并不能随机的组合,像博主的那种写法,若 right 初始化为了 nums.size(),那么就必须用 left < right,而最后的 right 的赋值必须用 right = mid。但是如果我们 right 初始化为 nums.size() - 1,那么就必须用 left <= right,并且right的赋值要写成 right = mid - 1,不然就会出错。所以博主的建议是选择一套自己喜欢的写法,并且记住,实在不行就带简单的例子来一步一步执行,确定正确的写法也行。

第一类应用实例:

Intersection of Two Arrays

 

第二类: 查找第一个不小于目标值的数,可变形为查找最后一个小于目标值的数

这是比较常见的一类,因为我们要查找的目标值不一定会在数组中出现,也有可能是跟目标值相等的数在数组中并不唯一,而是有多个,那么这种情况下 nums[mid] == target 这条判断语句就没有必要存在。比如在数组 [2, 4, 5, 6, 9] 中查找数字3,就会返回数字4的位置;在数组 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找数字1,就会返回第一个数字1的位置。我们可以使用如下代码:

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

 

最后我们需要返回的位置就是 right 指针指向的地方。在 C++ 的 STL 中有专门的查找第一个不小于目标值的数的函数 lower_bound,在博主的解法中也会时不时的用到这个函数。但是如果面试的时候人家不让使用内置函数,那么我们只能老老实实写上面这段二分查找的函数。

这一类可以轻松的变形为查找最后一个小于目标值的数,怎么变呢。我们已经找到了第一个不小于目标值的数,那么再往前退一位,返回 right - 1,就是最后一个小于目标值的数。

第二类应用实例:

 
第二类变形应用:Valid Triangle Number
 

第三类: 查找第一个大于目标值的数,可变形为查找最后一个不大于目标值的数

这一类也比较常见,尤其是查找第一个大于目标值的数,在 C++ 的 STL 也有专门的函数 upper_bound,这里跟上面的那种情况的写法上很相似,只需要添加一个等号,将之前的 nums[mid] < target 变成 nums[mid] <= target,就这一个小小的变化,其实直接就改变了搜索的方向,使得在数组中有很多跟目标值相同的数字存在的情况下,返回最后一个相同的数字的下一个位置。比如在数组 [2, 4, 5, 6, 9] 中查找数字3,还是返回数字4的位置,这跟上面那查找方式返回的结果相同,因为数字4在此数组中既是第一个不小于目标值3的数,也是第一个大于目标值3的数,所以 make sense;在数组 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找数字1,就会返回坐标5,通过对比返回的坐标和数组的长度,我们就知道是否存在这样一个大于目标值的数。参见下面的代码:

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

 

这一类可以轻松的变形为查找最后一个不大于目标值的数,怎么变呢。我们已经找到了第一个大于目标值的数,那么再往前退一位,返回 right - 1,就是最后一个不大于目标值的数。比如在数组 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找数字1,就会返回最后一个数字1的位置4,这在有些情况下是需要这么做的。

第三类应用实例:

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

第三类变形应用示例:

Sqrt(x)

 

第四类: 用子函数当作判断关系(通常由 mid 计算得出)

这是最令博主头疼的一类,而且通常情况下都很难。因为这里在二分查找法重要的比较大小的地方使用到了子函数,并不是之前三类中简单的数字大小的比较,比如 Split Array Largest Sum 那道题中的解法一,就是根据是否能分割数组来确定下一步搜索的范围。类似的还有 Guess Number Higher or Lower 这道题,是根据给定函数 guess 的返回值情况来确定搜索的范围。对于这类题目,博主也很无奈,遇到了只能自求多福了。

第四类应用实例:

Split Array Largest SumGuess Number Higher or LowerFind K Closest ElementsFind K-th Smallest Pair DistanceKth Smallest Number in Multiplication TableMaximum Average Subarray IIMinimize Max Distance to Gas StationSwim in Rising WaterKoko Eating BananasNth Magical Number

 

第五类: 其他(通常 target 值不固定)

有些题目不属于上述的四类,但是还是需要用到二分搜索法,比如这道 Find Peak Element,求的是数组的局部峰值。由于是求的峰值,需要跟相邻的数字比较,那么 target 就不是一个固定的值,而且这道题的一定要注意的是 right 的初始化,一定要是 nums.size() - 1,这是由于算出了 mid 后,nums[mid] 要和 nums[mid+1] 比较,如果 right 初始化为 nums.size() 的话,mid+1 可能会越界,从而不能找到正确的值,同时 while 循环的终止条件必须是 left < right,不能有等号。

类似的还有一道 H-Index II,这道题的 target 也不是一个固定值,而是 len-mid,这就很意思了,跟上面的 nums[mid+1] 有异曲同工之妙,target 值都随着 mid 值的变化而变化,这里的right的初始化,一定要是 nums.size() - 1,而 while 循环的终止条件必须是 left <= right,这里又必须要有等号,是不是很头大 -.-!!!

其实仔细分析的话,可以发现其实这跟第四类还是比较相似,相似点是都很难 -.-!!!,第四类中虽然是用子函数来判断关系,但大部分时候 mid 也会作为一个参数带入子函数进行计算,这样实际上最终算出的值还是受 mid 的影响,但是 right 却可以初始化为数组长度,循环条件也可以不带等号,大家可以对比区别一下~

第五类应用实例:

Find Peak Element

H-Index II

 

综上所述,博主大致将二分搜索法的应用场景分成了主要这五类,其中第二类和第三类还有各自的扩展。根据目前博主的经验来看,第二类和第三类的应用场景最多,也是最重要的两类。第一类,第四类,和第五类较少,其中第一类最简单,第四类和第五类最难,遇到这类,博主也没啥好建议,多多练习吧~

 

如果有写的有遗漏或者错误的地方,请大家踊跃留言啊,共同进步哈~

 

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posted @ 2017-05-15 08:40  Grandyang  阅读(41547)  评论(32编辑  收藏  举报
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