编译原理（清华大学版）第三章

第三章 词法分析

正规式、正规文法

设\(G=(V_N,V_T,P,S)\)，如果P中每一个产生式的形式都是\(A\rightarrow aB\)或\(A\rightarrow a\)，其中\(A,B\)都是非终结符，\(a\in V_T^*\)，则是3型或正规文法。

• 正规文法所描述的是\(V_T\)上的正规集，即通过\(V_N,V_T,P,S\)来表示。
• 正规式也称正则表达式。通过符号的有序连接来表示。

正规式递归定义：

设字母表为\(\sum\)，辅助字母表\(\sum ’=\{\varnothing,\epsilon ,|,.,*,(,) \}\)。

1. \(\epsilon\)和\(\varnothing\)都是\(\sum\)上的正规式，它们表示的正规集分别为\(\{\epsilon\}\)和\(\varnothing\)。
2. 任何\(a\in \sum,a\)都是\(\sum\)上的一个正规式，表示的正规集为\(\{a\}\)。
3. 假定\(e_1\)和\(e_2\)都是\(\sum\)上的正规式，他们表示的正规集分别为\(L(e_1),L(e_2)\)，那么\((e_1)、(e_1|e_2)、e_1*e_2、e_1^*\)也都是正规式，表示的正规集为\(L(e_1)、L(e_1)\cup L(e_2)、L(e_1)L(e_2)、(L(e_1))^*\)。
4. 仅由有限次使用上述三个步骤而定义的表达式才是\(\sum\)上的正规式，仅由这些正规式所表示的符号串的集合才是\(\sum\)上的正规集。

正规式符合的代数规律

1. \[r|s = s|r \space\space 或的交换律 \]

2. \[r|(s|t)=(r|s)|t \space\space 或的可结合律 \]

3. \[(rs)t=r(st)\space\space 连接的可结合律 \]

4. \[r(s|t)=rs|rt,(s|t)r=sr|tr \space\space 分配律 \]

5. \[\epsilon r= r,r\epsilon=r\space\space \epsilon为恒等元素 \]

6. \[r|r=r \space\space 或的抽取律 \]

正规式和正规文法的等价性

1. 将正规式转换为正规文法

   重点是两个基本正规式产生式：

   • \[形如A\rightarrow x^*y的正规式产生式重写为 \\ A\rightarrow xB \\ A\rightarrow y\\ B\rightarrow xB\\ B\rightarrow y \]

   • \[形如A\rightarrow x|y正规式产生式，重写为\\ A\rightarrow x \\ A\rightarrow y \]

2. 将正规文法转换为正规式

规则	文法产生式	正规式
规则 1	\(A\rightarrow xB\space\space B\rightarrow y\)	\(A=xy\)
规则 2	\(A\rightarrow xA|y\)	\(A\rightarrow x^*y\)
规则 3	\(A\rightarrow x \space\space A\rightarrow y\)	$A\rightarrow x|y $

有穷自动机

作用：识别正规集，识别正规文法定义的语言和正规式表示的集合。

分类：

• 确定的有穷自动机DFA
• 不确定的有穷自动机NFA

确定的有穷自动机

定义：是一个五元组

\[M=(K,\sum,f,S,Z) \]

1. \(K\)是一个有穷集，每一个元素称为一个状态。
2. \(\sum\)是一个有穷字母表，每个元素称为一个输入符号，也称为输入符号表。
3. \(f\)是转换函数，是\(K\times \sum \rightarrow K\)上的映像。
4. \(S\in K\)，是唯一的一个初态。
5. \(Z\subseteq K\)，是一个终态集，也称之为接收状态或结束状态。

可接受的定义

• 对于\(\sum ^*\)中的任意符号串\(t\)，若存在一条从初态节点到某一终态节点的道路，且这条路上所有的弧的标记符连接成的符号串等于\(t\)，则称\(t\)可为\(DFA\space M\)所接受，若\(M\)的初态节点同时又是终态节点，则空字可为\(M\)所识别（接受）。

• 若\(t\in \sum^*,f(S,t)=P\)，其中\(S\)为\(DFA\space M\)的开始状态，\(P\in Z\)，\(Z\)是终态集。则称\(t\)可为\(DFA\space M\)所接受。

拓展：

​ 设\(Q\in K\)，函数\(f(Q,\epsilon)=Q\)​。（如果输入符号是空串，则停留在原来的状态上）

​ 一个输入符号串\(t\)（将它改写为\(t_1t_x\)的形式，其中\(t_1\in \sum\)，\(t_x\in \sum^*\)），在\(DFA\space\space M\)上运行的定义为：

​

\[f(Q,t_1t_x)=f(f(Q,t_1),t_x) \]

考点：证明某某字符串是可接受的。

不确定的有穷自动机

定义：是一个五元组

\[M=(K,\sum,f,S,Z) \]

1. \(K\)是一个有穷集，每一个元素称为一个状态。
2. \(\sum\)是一个有穷字母表，每个元素称为一个输入符号，也称为输入符号表。
3. \(f\)是转换函数，是\(K\times \sum^*\) 到 \(K\)的全体子集的映像，即\(K\times \sum^*\rightarrow 2^K\)，其中\(2^K\)表示\(K\)的幂集。
4. \(S\in K\)，是非空初态集。
5. \(Z\subseteq K\)，是一个终态集，也称之为接收状态或结束状态。

NFA转换为等价的DFA

确定有穷自动机的化简

正规式和有穷自动机的等价性

正规式和有穷自动机的等价性