算法导论笔记：11散列表（哈希表）

       在前面讨论的各种数据结构中，记录在各种结构中的相对位置是随机的，和在记录的关键字之间不存在有确定的关系，因此在查找记录是需要进行一系列和关键字的比较。

       而理想的情况是不希望进行任何的比较，一次存取便能得到所查记录。那就必须在记录的存储位置和它的关键字之间建立一种确定的关系f，使每个关键字和结构中有一个唯一的存储位置与之相对应。我们称这个对应关系f为哈希函数，而按这个思想建立的表为哈希表。

      

       许多应用都需要一种数据结构，支持查找，插入，删除的等字典操作。散列表（哈希表）是实现字典操作的一种有效的数据结构。尽管在最坏情况下，散列表中查找一个元素的时间与链表中查找的时间相同，达到了Θ(n)。但是实际应用中散列表的查找性能很好，平均时间可以达到O(1)。

       散列表是普通数组概念的推广，在散列表中，不是直接把关键字作为数组的下标，而是根据关键字计算出相应的下标。散列是一种极其有效和实用的技术：基本的字典操作平均只需要O(1)的时间。

 

一：直接寻址表

       直接寻址表就是数组。当关键字的全域U比较小时，直接寻址是一种简单而有效的技术。比如，如果全域为U={0，1，…,m-1}。则可以使用长度为m的数组：

 

二：散列表

       直接寻址技术的缺点很明显：如果全域U很大，则存储大小为|U|的数组是不切实际的，而且如果实际存储的关键字集合K相对于全域U来说很小的时候，会造成巨大的浪费。此时采用散列表。

 

1：定义

       在直接寻址方式下，具有关键字k的元素存放在索引为k的位置中，在散列表中，该元素存放在h(k)中。h()就是一个散列函数。它将关键字的全域U映射到散列表T[0..M-1]的槽位上：

       这里会存在所谓“冲突”的问题：两个关键字可能被映射到同一个槽位中。由于全域|U|>M，所以冲突是无法避免的，所以一方面需要精心设计散列函数来尽量减少冲突的次数，另一方面是需要解决冲突的方法。

 

2：链接法解决冲突

       解决冲突的比较简单的方法就是链接法。它是把散列到同一个槽位的所有元素都放在一个链表中，然后数组中存放指针指向这个链表，如下图：

       插入操作的最坏情况运行时间为O(1)，因为只要计算出散列值，直接插入表头即可。

       查找操作的最坏运行时间与表的长度成正比。

       如果散列表中的链表是双向链表的话，删除一个元素可以在O(1)时间内完成。（以指针为参数，无须先查找）在单链表的情况下，删除和查找操作的运行时间相同。

 

3：链接法时间性能分析

       给定一个具有m个槽位，存储了n个元素的散列表T，定义T的装载因子α为n/m，即，一个链表中的平均元素数目。α可能小于，等于，或大于1。

       散列方法的平均性能依赖于所选取的散列函数h，将所有的关键字集合分布到m个槽位上的均匀程度。假定对于任何一个给定的元素，等可能的散列到m个槽位中的任何一个，且与其他元素被散列到什么位置上无关，称这个假设为简单均匀散列。

       在简单均匀散列的情况下，对于采用链接法的散列表，一次不成功查找和一次成功查找所需的平均时间都为Θ(1+α)。因此，若散列表的槽位数正比于其中的元素个数，我们有n = O(m)，于是，α = n/m = O(m)/m = O(1)。因此，查找时间平均为常数。由于插入操作首先需要调用CHAINED-HASH-SEARCH确认元素x的关键值未曾出现在表中，然后用O(1)时间将x插入到链表T[h(key[x])]中，所以期望的时间是O(1)。相仿地，删除操作对双向拉链表平均情形时间也是O(1)，所以所有的字典操作可以在O(1)的平均时间内得到支持。

 

4：散列函数

       一个好的散列函数应（近似的）满足简单均匀散列假设：每个关键字都等可能的被散列到m个槽位中的任何一个，并与其它关键字已散列到哪个槽位无关。遗憾的是一般无法检查这一条件是否成立，因为很少能知道关键字的概率分布，而且各个关键字可能不是完全独立的。

       如果知道关键字的概率分布，比如关键字都是随机的k，它们独立均匀分布在区间[0…1]中，那么散列函数h(k) = km就能满足简单均匀散列的条件。

     多数散列函数都假定关键字的全域为自然数集。因此如果给定的关键字不是自然数，需要找到一种方法将它们转换为自然数。比如一个字符串可以被转换为按适当的基数符号表示的整数。

 

a：除法散列法

       散列函数为h(k) = k mod m

       其中m为散列表的槽位数，使用除数散列法的时候，对于m的选择要慎重。比如m不应该是2的幂。否则如果m = ，则h(k)就是k的p个最低位数字（二进制）。除非已经知道关键字的最低p位数的排列是等可能的，否则在设计散列函数时，应该考虑关键字的所有位。

       一个不太接近2的整数幂的素数是m个一个比较好的选择。

 

b：乘法散列法

       h(k) = m(kA mod 1)

       第一步，用关键字k乘以常数A(0<A<1)，提取KA的小数部分(kA mod 1)。

       第二部，用m乘以这个值。

       在乘法散列法中，m的选择不是关键，一般选择m为2的某个次幂。最佳的选择为(A )。

 

c：直接定址法

       h(k) = k或 h(k) = a k + b          其中a和b为常数。实际中能使用这种哈希函数的情况很少。

       数字分析法

       假设关键字是以r为基的数（比如以10为基的十进制数），并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可取关键字的若干位组成哈希地址。

 

       实际工作中需要根据不同的情况采用不同的哈希函数。通常，考虑的因素有：

       计算哈希函数所需的时间；

       关键字的长度；

       哈希表的大小；

       关键字的分布情况；

       记录的查找频率。

 

5：开放寻址法

       开放寻址法是另外一种处理冲突的方法。在该方法中，所有的元素都存放在散列表中。当查找某个元素的时候，需要系统的检查所有的表项，直到找到所需的元素，或者最终查明该元素不在表中。因此，在开放寻址法中，散列表有可能会被填满，因而装载因子α <=  1。

       在开放寻址法中，字典操作需要找到一个”槽序列”，比如要插入元素，需要按照某个槽序列探查散列表，直到找到一个空槽。探查的序列不一定是0,1…m-1。而是要依赖于待插入的关键字。对于每一个关键字k，探查序列为：h(k,i)   (0 <= i <= m-1)。伪代码如下:

       HASH_INSERT(T, k)            

            i= 0                      

              repeat

                 j = h(k, i);                                     

                 if T[j] == NIL

                      T[j]= k;              

                       return  j;              

                 else                     

                      i += 1;               

              until  i==m

     error  "hash table overflow"

                             

       HASH_SERACH(T,k)

              i = 0

              repeat

                     j = h(k, i)

                     if T[j] == k

                            return j

                     i = i+1

              until T[j] == NIL or i ==m

              return NIL

 

       删除操作执行起来比较困难，当我们从槽i中删除关键字时，不能简单地让T[i]=NIL，因为这样会破坏查找的过程。假设关键字k在i之后 插入到散列表中，如果T[i]被设为NIL，那么查找过程就再也找不到k了。解决这个问题的方法是引入一个新的状态DELETED，而不是NIL，这样在插入过程中，一旦发现DELETED的槽，便可以在该槽中放置数据，而查找过程不需要任何改动。但如此一来，查找时间就不再依赖于装载因子了，所以在必须删除关键字的应用中，往往采用链接法来解决碰撞。

 

       均匀散列：假设每个关键字的探查序列等可能的为（0,1,……m-1）的m!种排列中的任何一种。真正的均匀散列难以实现，有三种技术常用来计算开放寻址法中的探查序列：线性探查，二次探查，双重探查。这些技术均不满足均匀散列的假设。

       a：线性探查

       h(k,i) = (h’(k) + i) mod m, i = 0,1,…,m-1

       给定一个关键字k，首先探查槽位h’(k)，然后是h’(k) + 1，以此类推，直到最后的h’(k)-1。在线性探查中，初始探查位置决定了整个序列，所以有m种不同的探查序列。

       线性探查有个缺点，就是一次群集。当表中i，i+1，i+2位置上都已经填满时，下一个哈希地址为i，i+1，i+2，i+3的关键字记录都将竞争i+3的位置。随着连续被占用的槽位不断增加，平均查找时间也不断增加。

 

       b：二次探查

       h(k,i) = (h’(k) + i + ) mod m,      i = 0,1,…,m-1

和h’(k)，后续的探查加上一个偏移量 i + 。这种探查的效果要比线性探查好。但是，如果两个关键字的初始探查位置相同，那它们的探查序列也是相同的，这一性质会导致二次群集。类似于线性探查，二次探查也仅有m个不同的探查序列。

 

       c：双重散列

       h(k,i) = (  +)mod m,   i = 0,1,…,m-1

       双重散列是开放寻址法中的最好方法之一，不像线性和二次探查，双重探查的的探查序列以两种不同的方式依赖于关键字k。为了能使探查序列查找到整个表，值必须与m互素。有两种方法：

       m为2的幂，而 总产生奇数；

       取m为素数， 则总是产生比m小的正整数。

       双重探查法用到了 种探查序列。

 

       在开放寻址中，对于装载因子α,并假设是均匀散列，至多需要做1/(1-α)次探查。