关于nim与取火柴问题

    此问题最初是从小外甥的课外题上看到的 ，原题目类似于： 

          一堆火柴有N根，A、B两人轮流取出。每人每次可以取1 根或2 根，最先没有火柴可取的人为败方，另一方为胜方。如果先取者有必胜策略则记为1，先取者没有必胜策略记为0。
当N 分别为100，200，300，400，500 时，先取者有无必胜策略的标记顺序为（回答应为一个由0 和/或1 组成
的字符串）。
    

      小外甥的原题是  ：  甲跟乙每次取1到3根火柴，一共有20跟，如果乙取到了最后一根，那么甲就获胜了，怎样才能做到甲获胜呢？  

      根据  https://blog.csdn.net/leonsc/article/details/6331226  这篇博客介绍，里面当中有个公式   :

              若n % ( m + 1 ) == 1则先取必败，否则必胜 （规定：最先没有火柴可取的人为败方）！    也就是说我们拿4个当成一组， 20%4正好等于0，那么，我们要留下一个1给乙才行，

     （20-1）%（3+1） = 3 ，所以，可以得到的结果就是 甲先拿 3个火柴，然后 不管乙拿 1根或者2根或者3根，甲再每次都拿（4-乙）个即可，最后就剩下一个1留给最后的乙了，这样

     甲就胜出了。

          关于这里的公式解析可以从 引用的博客看到： 

很简单可以证明当火柴数为1时先取必败，然后火柴数为m + 1时，无论先取的人怎样取，假定取x个，那么第二个人取m - x个，即可只剩一个留给对方。这样一直下来，如果用D( x ) = 1表示当留有x个火柴时先取必败，那么
D( 1 ) = 1
D( m + 2 ) = 1
D( 2m + 3 ) = 1
........
在这道题的情况就是
D( 1 ) = 1
D( 4 ) = 1
D( 7 ) = 1
.........
所以刚开始这些情况是必败的，换言之，如果刚开始不是这种情况，则先取的人可以取n % ( m + 1 ) - 1个（注意n % ( m + 1 ) == 0的情况，这是应该是取m个），就可以转化成上述令对手必败的情况。

      更多解释请看博客 ：  https://blog.csdn.net/leonsc/article/details/6331226  。