欧拉回路与欧拉路径总结

　　笔者在图论挣扎了这么久，今天总算暂时到头了，鉴于欧拉路径和欧拉回路的精妙（e xin)程度，在这里做一个小小的总结。

 

　　首先欧拉绝对是个伟（huai）人，创造了不少东西，其中就包括欧拉路径和欧拉回路这种随便虐死蒟蒻萌新的***

定义

　　欧拉回路：从图上一个点u出发不重复地经过每一条边后，再次回到点u的一条路径。

　　欧拉路径：从图上一个点u出发不重复地经过每一条边的一条路径（不必回到点u）。

　　欧拉图即存在欧拉回路的图，半欧拉图即存在欧拉路径的图。

　　（就像是一笔画，要求每条边只走一次，但每个点可以多次经过，而要求每个点只走一次的模型是哈密顿环。注意欧拉回路必须回到起点，欧拉路径则不必，可以说欧拉回路一定是欧拉路径，反之不成立。）

 

定理

　　（1）无向图欧拉回路的判定：图G为连通图，所有顶点的度为偶数。

　　（2）无向图欧拉路径的判定：图G为连通图，除有2个顶点度为奇数外，其他顶点度都为偶数。

　　（3）有向图欧拉回路的判定：图G的①基图联通，所有顶点的入度等于出度。

　　（4）有向图欧拉路径的判定：图G的基图联通，存在顶点u的入度比出度小1，v入度比出度大一，其余所有顶点的入度等于出度。（此时u即路径的起点，v即终点）

　　　　① 忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图

　　　“联通”标了红字，当然很重要！有时（实际上是很多时候）给出的原图并不是一个连通图，需小心处理，后面注意事项会提。

 

其他定理（非正式定理，但做题时很有用）

　　（5）无向图为（半）欧拉图时，只需用1笔画成；无向图为非（半）欧拉图时，即奇点（度为奇数的点）数k>2，需用k/2笔画成。

　　（6）可以用加边的方式把一个非欧拉图变成欧拉图。对于无向图来说，每个奇点都需加一个度，加的边为 奇点数/2 ；对于有向图来说，每个点都需加上入度与出度之差，加的边数为每个点入度与出度之差的绝对值之和再除以2。

　　笔者在学习（5）（6）定理的时候，曾有过一个疑问：如果要除以2的数是个奇数该怎么办，该向上还是向下取整呢？我承认这是个智障的问题。首先介绍一个定理：一个图的奇点数一定是偶数。证明很简单，可以看看这里：（https://blog.csdn.net/c_lyr/article/details/53082753

　　那么对于（5），和（6）的前半条，肯定不会出现奇数除以2；对于（6）的后半条，我们考虑当入度与出度之差是偶数时，不用担心，而当入度与出度之差是奇数时，则入度与出度之和一定是奇数，即这个点是一个奇点，而奇点有偶数个，偶数个奇数相加，结果也是偶数，因此绝不会出现和是奇数的情况。

 

求欧拉回路和欧拉路径

　　用DFS遍历整张图，走过的边标记（如果是无向图，注意同时标记相反方向的边），在DFS返回后把点（也可以是边，看题目要求怎样输出）入栈，最后依次出栈即为路径序列。代码很简单，去网上搜吧，就不贴了（笔者懒）。。。

 

注意事项

　　求欧拉回路与欧拉路径其实并不是很难的，套模板就行了。难的是那种给一张图统计操作数的题，根据笔者的经验，这种题多半是跟点的入度和出度有关的。当你一脸懵逼不知所措时，不妨从入度和出度入手，灵活运用各种定理分类讨论，往往能找到问题的突破口。还有就是前面提到的，当原图有多个连通块时，需先辨认出每个连通块（并查集或DFS，个人比较喜欢并查集），再分别处理。对于只有一个而没有边的块，一般不用考虑，跳过就行了。

 附上一道还不错的题 https://loj.ac/problem/10111

 

 至此，我已经介绍了关于欧拉回路和欧拉路径的不少知识（坑点），更多的经验还需在刷题中获得，祝大家AC愉快。

 

2018-08-22