各种难题解惑

1、书架上有21本书,编号从1 到 21 从中选4 本,其中每两本的编号都不相邻的选法一共有_____种

回答：

在符合条件的4本书a1,a2,a3,a4后插4块板，把这一列书从左到右依次分成5部分。
因为a2 a1不相邻，即a2>=a1+2,a3>=a2+2,a4>=a3+2,则第一部分至少1本书，第2部分至少2本书，第3部分至少2本书，第4部分至少2本书，第5部分可以没有书。
设这5部分的书数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5=21,其中x1〉=1，x2>=2,x3>=2,x4>=2,x5>=0. 
设y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-1,y4=x4-1,,y5=x5+1. 
则y1+y2+y3+y4+y5=19. 
于是等价于上述不定方程的正整数解的组数，为（19-1）C（5-1）=18C4.

问题实质是转化为插板法解决，即19个点有18个空，插入4个板将19个点分成5份，每份至少有一个点.