KMP 算法和 TIRE 树

1. KMP 算法

KMP 算法，是判断一个字符串是否在一个字符串中出现过，能够快速匹配字符串在文本串中的有无，位置，次数，我们在匹配字符串中可以找到失配点，就可以不用从 \(1\) 重新查找，从某个特定点进行查找，大大减小了时间复杂度。

考虑一组样例：

字符串：abcdf
文本串：abcdabcdef

我们来将他匹配，首先前 \(4\) 个字母都会匹配上，发现到了第 \(5\) 个，就匹配不上了。那么我们就将字符串移动到失配的点。

字符串：   abcdf  
文本串：abcdeabcdef

因此我们可以不用一位一位的找，就可以根据相同的字母来进行匹配。

一共有两步：先是处理 KMP 数组，接着是字符串匹配。

在处理 KMP 数组中，我们可以自己匹配自己，对于每个 j 并且
j 是拥有可继承性的。

 fup(i, 2, l2) {
   while (j && s2[i] != s2[j + 1]) {
     j = kmp[j];
   }
   if (s2[j + 1] == s2[i]) {
     j++;
   }
   kmp[i] = j;
 }

在进行字符串匹配，j 可以看做表示当前已经匹配完的模式串的最后一位的位置，如果失配，那么就不断向回跳，直到可以继续匹配，如果匹配成功，那么对应的模式串位置 \(++\)。

fup(i, 1, l1) {
    while (j > 0 && s2[j + 1] != s1[i]) {
      j = kmp[j];
    }
    if (s2[j + 1] == s1[i]) {
      j++;
    }
    if (j == l2) {
      j = kmp[j];
    }
}

例题：模板。

2.TIRE 树

TIRE 树，能够判断一个字符串的前缀，在多个字符串是否出现过，在查询时，通过判断每个字符的前缀，从而减少时间复杂度。在建树中，通过公共前缀来减少空间。

我们来举个例子：怎么存 abc,abb,bca,bc。

通过这样存，就能够将这些所有的字符串存起来。

在用字典树中，也需要两步，先将字符串插入，在进行查询。

在进行插入时，通过一个二维数组，id 表示每个节点的编号，每个 \(tire[i][x]\) 表示一条边，\(1-n\) 表示每个节点的编号，如果 \(tire[i][x]==0\) 表示 i 这个点没有边，而 \(cnt[i]!=0\) 表示这个点不是叶节点，它还能继续往下拓展字符，p 代表节点编号，通过 \(tire[p][x]\) 判断当前节点是否存在，在插入时，如果 p 节点没有边，那么就 \(++id\) 将这个边存上，最后将 p 更新成新节点的编号。

void insert(string s) {
  int p = 0;
  fup(i, 0, s.size() - 1) {
    int x = s[i]-'a';
    if (trie[p][x] == 0) trie[p][x] = ++id;
    p = trie[p][x];
    cnt[p]++;
  }
}

接着进行查询，其他都差不多，就在 \(tire[p][x]==0\) 时表示这个点就确实没有出现过了，因此我们返回 \(0\) 查找失败，最后如果要求每个字符串前缀出现的次数，那么就返回 \(cnt[p]\)，表示每个字符串前缀的次数。

int find(string s) {
  int p = 0;
  fup(i, 0, s.size() - 1) {
    int x = fun(s[i]);
    if (trie[p][x] == 0) return 0;
    p = trie[p][x];
  }
  return cnt[p];
}

例题：模板。