雅克比迭代算法(Jacobi Iterative Methods) -- [ mpi , c++]

雅克比迭代,一般用来对线性方程组,进行求解。形如:
\(a_{11}*x_{1} + a_{12}*x_{2} + a_{13}*x_{3} = b_{1}\)  
\(a_{21}*x_{1} + a_{22}*x_{2} + a_{23}*x_{3} = b_{2}\)  
\(a_{31}*x_{1} + a_{32}*x_{2} + a_{33}*x_{3} = b_{3}\)  
我们需要求解出\(x_{1}\) ,\(x_{2}\) ,\(x_{3}\),我们对这组方程进行变换:
\(x_{1}=\frac{1}{a_{11}}(b_{1} -a_{12}*x_{2} -a_{13}*x_{3})\)
  \(x_{2}=\frac{1}{a_{21}}(b_{2} -a_{21}*x_{1} -a_{23}*x_{3})\)
\(x_{3}=\frac{1}{a_{31}}(b_{3} -a_{31}*x_{1}-a_{32}*x_{2})\)

我们不妨假设 \(x_{0}^{0}=(X_{1}^{0},X_{2}^{0},X_{3}^{0})\) ,当我们代入上述公式的时候,我们就会得到一组新的 \(x_{0}^{1}=(X_{1}^{1},X_{2}^{1},X_{3}^{1})\) ,此刻我们称之为一次迭代.
然后我们将得到的X1,X2,X3再次代入公式,我们将会得到第二次迭代, 当我们重复这种迭代的时候,我们会得到第K次迭代:
\(x^{k}=(X_{1}^{k},X_{2}^{k},X_{3}^{k})\) , \(k = 1,2,3...n\)
我们将其归纳成一般式子:

eg: 对于方程组:

求解:
我们先将其变形:

然后,我们假设:
并将其代入得到:

我们将得到的X1,x2,x3再次代入方程中,反复迭代,将会得到如下:

最终我们将会得到一个收敛值,该组值,就是我们得到的解(会非常的逼近真实解)

那么这种方法,也可以用来求解矩阵:
对于方程: Ax =b ; 我们设定 A矩阵为: ,b矩阵为: , x矩阵为:
到这里,每个人都有自己的解法,直接的解法是将 x = \(A^{-1}\)b,但是A的逆矩阵\(A^{-1}\),计算较为复杂,我们这里需要一点小的tricks ,我们将A矩阵拆分成为一个对角矩阵D,下三角矩阵L,上三角矩阵U,即

这样的话,公式 Ax = b 就变成了 ( D - L -U )
x = b ,然后我们就可以得到:
Dx = b + (L+U)x ,当我们得到这个公式的时候,求解D的逆矩阵就容易了很多,我们得到D的逆矩阵为:

然后,我们将D移到右边变成:

这个公式,和我们上面描述的雅克比迭代是不是长得很像,然后我们可以将其一般化为:

我们知道A是一个已知的常量矩阵,因而D,L,U都是已知矩阵,那么我们可以简化为:
\(T = D^{-1}*( L +U)\) , \(c = D^{-1}*b\) ;

根据这一个思想,我们可以得到一个伪代码:

实现代码为:

参考资料为:
https://www3.nd.edu/~zxu2/acms40390F12/Lec-7.3.pdf

posted @ 2018-12-20 14:52  龚细军  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏