GESP C++ 六级 DP 精选 4 题题解

本文档精选 4 道 GESP 六级真题。每道题包含：题目大意、状态定义、转移方程、边界条件、完整 AC 代码。

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第 1 题：[GESP202506 六级] 学习小组

题目大意

有 n 名学生，编号 1~n 连续编号。将这些学生分成若干个连续编号的小组，每个小组人数不能超过 m，且每个小组有对应的奖励值。求分组后奖励值之和的最大值。

• 输入：第一行两个整数 n, m；第二行 n 个整数 a[i]，a[i] 表示 i 个人组成的小组的奖励值。

思路分析

经典线性 DP（钢条切割模型）

• 状态定义：dp[i] 表示前 i 名学生分组的最大奖励值之和。
• 转移方程：枚举最后一个小组有 j 个人（1 ≤ j ≤ min(m, i)）：

\[dp[i] = \max_{1 \le j \le \min(m,i)} \{ dp[i-j] + a[j] \} \]

• 边界条件：dp[0] = 0（0 个学生，奖励为 0）。
• 计算顺序：从小到大 i = 1 → n。
• 时间复杂度：O(nm)。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 2005;
int n, m;
long long a[MAXN];
long long dp[MAXN];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = 0;
        for (int j = 1; j <= min(m, i); j++) {
            dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] + a[j]);
        }
    }
    
    cout << dp[n] << '\n';
    return 0;
}

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第 2 题：[GESP202603 六级] 选数

题目大意

有 n 个格子排成一排，每个格子 i 上有数字 a[i]，并且每个格子有一个跳跃距离 b[i]。游戏规则：

1. 初始站在第 1 格。
2. 到达第 i 格时，可以选择：
   • 拿取该格子的数字 a[i]，然后向后跳跃 b[i] 格；
   • 不拿，向后走 1 格。
3. 走到第 n+1 格时游戏结束。

求能获得的最大数字之和。

思路分析

一维跳跃 DP（从后往前递推）

• 状态定义：dp[i] 表示到达第 i 格时，从第 i 格出发到游戏结束能获得的最大数字之和。
• 转移方程：
  • 不拿：dp[i] = dp[i + 1]
  • 拿：dp[i] = a[i] + dp[i + b[i]]（若 i+b[i] > n，则后面没有值）
• 边界条件：dp[n+1] = 0。
• 计算顺序：从后往前 i = n → 1。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
int n;
int a[MAXN], b[MAXN];
long long dp[MAXN];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i];
    }
    
    dp[n + 1] = 0;
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        // 不选，走一步
        dp[i] = dp[i + 1];
        // 选，跳 b[i] 步
        if (i + b[i] <= n) {
            dp[i] = max(dp[i], (long long)a[i] + dp[i + b[i]]);
        } else {
            dp[i] = max(dp[i], (long long)a[i]);
        }
    }
    
    cout << dp[1] << '\n';
    return 0;
}

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第 3 题：[GESP202509 六级] 划分字符串

题目大意

给定一个由小写字母组成的字符串 s，长度为 n。要求将字符串划分成若干段，每一段中所有字符均不相同。每划分为一段长为 k 的子串，得分为 k²。求划分后得分之和的最大值。

思路分析

划分型 DP

• 状态定义：dp[i] 表示字符串前 i 个字符划分后的最大得分。
• 转移方程：枚举最后一段的起始位置 j，向前推直到遇到重复字符：

\[dp[i] = \max_{j}\{ dp[j] + (i-j)^2 \} \]

• 边界条件：dp[0] = 0。
• 技巧：用 vis 数组记录当前子串中出现过的字符，遇到重复就 break。
• 计算顺序：i = 1 → n。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 2005;
int n;
string s;
long long dp[MAXN];
bool vis[26];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> s;
    n = s.size();
    s = " " + s;  // 下标从 1 开始
    
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        dp[i] = 0;
        // 向前枚举最后一段
        for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
            int c = s[j + 1] - 'a';
            if (vis[c]) {
                break;  // 出现重复字符，停止扩展
            }
            vis[c] = true;
            int len = i - j;
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + (long long)len * len);
        }
    }
    
    cout << dp[n] << '\n';
    return 0;
}

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第 4 题：[GESP202503 六级] 环线

题目大意

n 个格子排成一个环形，每个格子上有一个数（可能为负数）。请选择一段连续的格子（可以环绕一圈），使得选中的数字之和最大。求这个最大值。注意：至少选一个格子。

思路分析

环形最大子段和（拆环技巧）

分两种情况讨论：

• 情况 1：最大子段和不跨越首尾（普通线性）
  → 直接求普通最大子段和：cur_max = max(a[i], cur_max + a[i])
• 情况 2：最大子段和跨越首尾
  → 等价于：总和 - 普通最小子段和
  → ans2 = sum - min_sub
• 答案：max(ans1, ans2)

⚠️ 特殊情况：如果所有数都是负数，必须取情况 1（选最大的负数）。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200005;
int n;
long long a[MAXN];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n;
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    
    // 最大子段和（情况 1）
    long long max_sub = a[1], cur_max = a[1];
    // 最小子段和（情况 2）
    long long min_sub = a[1], cur_min = a[1];
    long long max_val = a[1];
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        cur_max = max(a[i], cur_max + a[i]);
        max_sub = max(max_sub, cur_max);
        
        cur_min = min(a[i], cur_min + a[i]);
        min_sub = min(min_sub, cur_min);
        
        max_val = max(max_val, a[i]);
    }
    
    long long ans;
    if (max_val < 0) {
        // 所有数都是负数，选最大的一个
        ans = max_val;
    } else {
        ans = max(max_sub, sum - min_sub);
    }
    
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

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三、DP 模型速查表

模型	核心状态	典型转移	代表题
线性 DP	dp[i]	dp[i] = max(dp[i-j] + w[j])	学习小组
跳跃 DP	dp[i]	dp[i] = a[i] + dp[i+b[i]]	选数
划分 DP	dp[i]	dp[i] = max(dp[j] + w(j+1,i))	划分字符串
环形 DP	拆成两种情况	max(不跨环, 总和-最小子段)	环线