二分与三分
其实二分，三分与分治的思想差不多，都是对一个问题的分段操作（前提为有序）
——QwQ
二分
二分法,在一个单调有序的集合或函数中查找一个解,每次分为左右两部分,判断解在哪个部分中并调整上下界,直到找到目标元素,每次二分后都将舍弃一半的查找空间,因此效率很高。
例如,对于在实数区间[L,R]内递增的连续函数f(x),求[L,R]内f(x)的零点J。J称为(x)在[L,R]内的零点,当且仅当满足:
任意L≤x<J,f(x)<0
任意J<x≤R,f(x)>0
f(J)=0
二分法的思想是不断将待求解区间平均分成两份,根据求解区间中点的情况来确定目标元素所在的区间,这样就把解的范围缩小了一半
设当前求解区间为 [ l , r ] , 它的中点为mid =( l+r )/2则有
若f(m)<0,则J∈[m,r];
若f(m)>0,则J∈[l,m];
若f(m)=0,则J=m
那么,二分算法的复杂度为O(二分次数×单次判定复杂度)
1.整数定义域上的二分
int Erfen(int l,int r) { int l=1,r=n,ans; while(l<=r) { int mid=(l+r)/2; //int mid=l+(r-l)/2; if(check(mid)) { ans=mid; l=mid+1; } else r=mid-1; } return ans; }
2.实数定义域上的二分
int Erfen(double l,double r) { double eps=0.001; while(fabs(r-l)>eps) { double mid=(l+r)/2.0; if(check(mid)) r=mid; else l=mid; } return l; }
常见的类型
1.二分答案
最小值最大(或是最大值最小)问题,这类双最值问题常常选用二分法求解,也就是确定答案后,配合贪心、DP等其他算法检验这个答案是否合理,将最优化问题转换为判定性问题。例如,将长度为n的序列a分成最多m个连续段,求所有分法中每段和的最大值的最小是多少
2.二分查找
用具有单调性的布尔表达式求解分界点,比如在有序数列中求数字x的排名
3.代替三分
有时,对于一些单峰函数,我们可以用二分导函数的方法求解函数极值,这时通常将函数的定义域定义为整数域求解比较方便,此时dx可以直接取整数1
三分法适用于求解凸性函数的极值问题,二次函数就是一个典型的单峰函数。
三分法与二分法一样,它会不断缩小答案所在的求解区间。二分法缩小区间利用的原理是函数的单调性,而三分法利用的则是函数的单峰性
设当前求解的区间为 [l,r] ,令 m=1+(l+r)/3 , m=r-(l+r)/3 , 接着我们计算这两个点的函数值f(m1),f(m2)之后我们将两点中函数值更优的那个点称为好点，函数值较差的那个点称为坏点。我们可以不停缩小求解区间,直至得出近似解
与二分一样,我们可以指定三分的次数,或是根据 r-1的值来终止
double l=0,r=1e9; while(r-l>=1e-3) { double m1=l+(r-l)/3; double m2=r-(r-l)/3; if(f(m1)<f(m2)) l=m1; else r=m2; }
这里再放几个题看看
1433：【例题1】愤怒的牛
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e5+3; int n,m,x[N]; inline bool check(int d){ //以d为答案，看是否正确 int cow=1; int rgt=x[1]+d; for(int i=2;i<=n;i++) { if(x[i]<rgt) continue; //不符合跳过 ++cow; rgt=x[i]+d; //符合计数并更新rgt } return cow>=m; //cow>=m是成立 } int main(){ cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]; sort(x+1,x+1+n); //二分查找 int l=0,r=x[n]-x[1]; while(l<=r) { int mid=l+r>>1; if(check(mid)) l=mid+1; else r=mid-1; } cout<<r; return 0; }
1434：【例题2】Best Cow Fences
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; double a[100001],b[100001],sum[100001]; int main(){ int N,L; cin>>N>>L; for(int i=1;i<=N;i++){ cin>>a[i]; } double eps=1e-5; double l=-1e-6,r=1e6; while(r-l>eps){//二分答案 double mid=(l+r)/2; for(int i=1;i<=N;i++) b[i]=a[i]-mid; for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]=(sum[i-1]+b[i]); double ans=-1e10; double minn=1e10; for(int i=L;i<=N;i++){ minn=min(minn,sum[i-L]); ans=max(ans,sum[i]-minn); //前缀和相减 } if(ans>=0) l=mid; else r=mid; } cout<<int(r*1000)<<endl; return 0; }
1435：【例题3】曲线
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<iomanip> using namespace std; int T,test,n; double a[10005],b[10005],c[10005]; double x,maxx=0,L,r,Lmid,rmid; double cal(double x){ int i,j; double maxx=-0x7fffffff; for(i=1;i<=n;i++) maxx=max(maxx,a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]); return maxx; } int main(){ int i,j; cin>>T; for(test=1;test<=T;test++){ cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i]>>c[i]; L=0;r=1000; while(L+1e-11<r){ Lmid=L+(r-L)/3; rmid=r-(r-L)/3; if(cal(Lmid)<=cal(rmid)) r=rmid; else L=Lmid; } printf("%.4lf\n",cal(L)); } return 0; }
