11.3 QOJ6482, LG P15925

QOJ6482. Popcount Words

套路题，主要是看你有没有做过 popcount 序列性质相关的题目。

由于文本串过长，没法做 kmp，考虑用文本串匹配模式串。

先将所有询问串离线，插入到 trie 中建 AC 自动机。popcount 序列有一定的规律可循，一般会采用其倍增结构：

\(s_{2i} = s_i\)，\(s_{2i+1} = 1 - s_i\)。

不难观察到，设串 \(F_{k, 0}\) 表示 \(s[0, 2^{k})\)，\(F_{k, 1}\) 表示 \(s[2^{k}, 2^{k+1})\)，任意 \(w(l, r)\) 都可以拆分为 \(O(\log V)\) 个 \(F_{k, o}\)。

拆分考虑两个部分 \(l \to 2^h \to r\)：\(l \to 2^h\)，每次找到 \(2^k= \mathrm{lowbit}(l)\)，拼上串 \(F_{k, \mathrm{popc}(l) \& 1}\)，\(l \gets l + 2^k\)。到 \(l = 2^{\lfloor\log r\rfloor}\) 后，倒着枚举 \(k\)，每次找到 \(2^k = \mathrm{highbit}(r)\)，拼上串 \(F_{k, \mathrm{popc}(l)\&1}\)，\(l \gets l + 2^k\)。两个部分除了枚举顺序其余完全一致。考虑若 \(l, r\) 在同一层，即 \(\lfloor \log x\rfloor\) 相同时，我们需要加入一些小判断，例如 \(l + 2^k\) 是否 \(\le r\)。

相当于对于由若干个 \(F_{k, o}\) 拼接得到的串做 AC 自动机上的匹配，考虑定义 \(f_{u, k, o}\) 表示从 AC 自动机上的状态 \(u\) 出发，跑一个 \(F_{k, o}\) 串的匹配最后到达的状态（有点像倍增是不是）。由 \(F_{k, o} = F_{k-1, o} + F_{k - 1, o \oplus 1}\) 得知：

\[f_{u, k, o} = f_{f_{u, k - 1, o}, k - 1, o\oplus 1} \]

预处理出 \(f_{u, k, o}\)，复杂度为 \(\mathcal O(S \log V)\)。

但是我们要求的问题是，每个状态被匹配过多少次。定义 \(g_{u, k, o}\) 表示从状态 \(u\) 出发后面接 \(F_{k, o}\) 的次数，类似于后缀和，按层 \(k\) 往下传递信息，直到 \(k = 0\)：

\[g_{u, k - 1, o} \gets g_{u, k, o}\\ g_{f_{u, k-1, o}, k-1,o \oplus 1} \gets g_{u, k, o} \]

记 \(h_u\) 表示状态 \(u\) 被匹配到的次数，则：

\[h_{\mathrm{tr}[u][o]} \gets g_{u, 0, o} \]

最后做一遍 fail 树上答案合并。

总的复杂度 \(\mathcal O(S \log V + n \log V)\)。

[TOPC 2023] Introversion

这种无聊题就别评紫了吧，首先相邻不相同的反面是简单的，你只需要把两个绑在一起就行。

考虑容斥，坏事件为相邻且相同的一对，设钦定有 \(i\) 个相同相邻的方案数为 \(g_i\)，则答案为 \(\sum (-1)^ig_i\)。

考虑到，原序列中有一些位置已经固定了，且保证相同不相邻，所以有 \(3\) 类情况，我们只需要考虑 \(2\) 类：

• 在序列中没出现过。
• 在序列中出现过恰好一次。

定义 \(f_{i, j, k}\) 表示前 \(i\) 个数已经固定，钦定了第一类 \(j\) 个相邻且相同的对，第二类 \(k\) 个相邻且相同的对。设第一类总共有 \(c_1\) 个，第二类总共有 \(c_2\) 个。

\[f_{i, j, k} \gets f_{i - 1, j, k}\\ f_{i, j, k} \gets f_{i - 2, j - 1, k}(c_1 - j + 1)\\ f_{i, j, k} \gets f_{i-2, j, k - 1} \]

第二种转移成立当且仅当 \(a_{i-1},a_i\) 均为 \(0\)，第三种转移成立当且仅当 \(a_{i-1}\) 和 \(a_i\) 之一为第二类，另一个为 \(0\)。

剩下的数总共是 \(c_2 - k + 2(c_1 - j)\) 个，任意排列即可，所以 \(g_{j + k} \gets (c_2-k+2(c_1-j))!f_{n, j, k}\)。但要注意的是，相同的数不区分，所以还应带上一个修正系数 \(2^{-(c_1-j)}\)。