[AGC035E] Develop

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集合 \(S\) 中有 \(-1 \sim 500\) 的数各一个，给定 \(n, k\)，每次操作可以选择 \(1 \le i \le n \land i \in S\)：

• 若 \(i - 2 \notin S\)，加入 \(i - 2\)。
• 若 \(i + k \notin S\)，加入 \(i + k\)。
• 删除 \(i\)。

求出最后可能的集合总数。

\(1 \le k \le n \le 150\)。

其实是一道很无聊的题目。考察最终集合 \(S'\)，我们只关心能否有方法将 \(S \setminus S'\) 的部分给删掉，所以实际上是统计可删集合 \(T\) 的树木。

考虑建模：如果删除 \(i\) 会加入 \(i - 2, i + k\)，则连边 \(i \to i - 2\) 和 \(i \to i + k\)。容易证明，\(T\) 的导出子图无环是 \(T\) 合法的充要条件。

如果 \(k\) 为偶数，则偶数位置和奇数位置独立，两边分开做，当且仅当选出连续 \(\frac{k}{2} + 1\) 个位置不合法，用 DP 分别求解即可。

如果 \(k\) 为奇数，情况会复杂些。我们还是把奇偶位置分开，\(i \to i + k\) 的边就会在两边横跳。观察到环的一般形态是一个 \(\infty\)（先通过一条 \(i \to i + k\) 到右边，倒着走一段，走一个 \(j \to j + k\) 回到左边，倒着走回 \(i\)），或者退化成 \(\lhd\) 等。

按照自然数顺序 DP，\(i \to i + k\) 的边跨越太大，两边不好兼顾。所以考虑按层 DP，每层由奇数 \(i\) 和偶数 \(i+k\) 组成。

定义 \(f_{i, j, l}\) 表示考虑到第 \(i\) 层，偶数连续选择了 \(j\) 个，奇数还能再连续选 \(l\) 个（否则成环）的方案数。

转移是简单的。