[JOISC 2020] 掃除

[JOISC 2020] 掃除

平面上有一个腰长为 \(N\) 的直角三角形，三个顶点分别为 \((0, N), (0, 0), (N, 0)\)，初始有 \(m\) 个点 \((x_i, y_i)\)，编号依次为 \(1,2,\dots, m\)，接下来是 \(q\) 次操作：

1. 查询编号为 \(i\) 的点的坐标。
2. 进行过程 H：给定 \(L\)，想象端点为 \((0, 0), (0, L)\) 的线段竖直扫到 \((N-L, 0), (N-L, L)\)，并把途径的所有点全部推到 \(x = N-L\)。
3. 进行过程 V：给定 \(L\)，想象端点为 \((0, 0), (L, 0)\) 的线段水平扫到 \((0, N-L), (L, N-L)\)，并把途径的所有点全部推到 \(y = N-L\)。
4. 加入一个新的点，位置为 \((X, Y)\)，设上一个点的编号为 \(c\)，则这个点的编号为 \(c+1\)。

\(1 \le N \le 10^9, 1 \le m \le 5 \times 10^5, 1 \le q \le 10^6\)。

sub 2：操作类型只有 \(1,2,4\)；sub 3：满足操作类型只有 \(1,2,3\)，且 \(x_i \le x_{i+1}, y_i\ge y_{i+1}\)；sub 4：操作类型只有 \(1,2,3\)。

Subtask 2，没有过程 V，显然问题中你只需要关心 \(x\) 坐标的变化，容易用线段树维护。这启示一维上的问题是好做的。

Subtask 3，考察性质：随着 \(x\) 增大，\(y\) 不断减小，也就是长成：\(\ddots\)。显然，在过程中这个性质不会被破坏，用一个线段树上二分 + 区间赋值即可做。

Subtask 4，与 Sub 3 的区别只有少了一个性质，考虑什么情况下这个性质又成立了。容易发现，所有被推过一次的点天然满足性质，可以直接像刚刚一样二分做；考虑找到每个点第一次被推的时候，容易发现是一个二维偏序的关系，扫描线就能够找到。然后考虑问题变成每次插入一个点，支持按照 \((x, y, id)\) 三个关键字排序（防止出现无法比较的情况）和区间赋值操作，所以就不好使用线段树了，最好用平衡树写。

考虑正解，Subtask 4 是不支持插入新点的，花费一个 \(\log q\) 的代价，用线段树分治去除掉插入新点的操作。把新点的存在拆成 \(\log n\) 个区间，在每个节点上做 Subtask 4 即可，时间复杂度 \(O((m + q)\log q \log (m + q))\)。常数巨大，但在 11s 时限内应该能够跑过；积极复用可以做到空间复杂度 \(O(q \log q)\)，但常数也比较大。

Subtask 4 的提示使问题变成了一个一维问题，因为 \(x, y\) 的单调性恰好相反，一个排序后另一个也有序了，所以不需要同时管辖两维，启发性极强。

进一步考察性质发现不需要写平衡树，把每个点推一次过后的点拉出来排序，每次修改只会对一段前缀或一段后缀做取 max 的修改（对于一段区间赋值），可以用 odt 做，但是不是很好写因为需要二分，可能要开两个 set，常数不小且细节较多。