💋💉💩💩味道 Round 4

[EGOI 2026] 披萨大师

给定一个 \(0 \sim n-1\) 的排列 \(a\) 和 \(m\) 个初始为空的栈，进行如下操作：

• 将前 \(m\) 个数按照顺序放到栈中。
• 从下一个数开始，找到一个栈顶 \(< a_i\) 且栈顶最大的栈，将 \(a_i\) 放入这个栈中；如果找不到，则不放入这个 \(a_i\)。

给定每个栈最终从底到顶的所有数 \(b_{i, j}\)，构造一个字典序最小的合法的初始排列 \(a\)。

\(1 \le n,m \le 3 \cdot 10^5\)。

初始的 \(m\) 个数的位置是固定的，先全部放完。然后把栈从小到大排个序开始跑。首先观察性质，我们把这个栈放到值域上看。每次选择一个栈顶 \(< a_i\) 且栈顶最大的栈放入，不妨把栈顶记为 \(t_i\)，相当于找到这个栈，将 \(t_j \gets a_i\)，且不存在 \(t_j<t_k<a_i\)。所以 \(t_i\) 的相对顺序不会改变。

接下来看这道题就非常简单了，由于相对顺序不改变，所以每次如果能放前面的栈就放前面的栈。容易发现这是一个递归式的子问题，如果 \(t_1 < t_2 < b_{1, cur}\)，那么就把第一个栈删掉，处理要使 $t_2 > $ 某个值并使字典序最小的问题。建出图结构，精细实现可以做到除排序外 \(\mathcal O(n+m)\)。

[PA2022] Płótno

给定一个 \(2 \times n\) 的循环网格，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的网格记为 \((i, j)\)。每个网格上有一个独一无二的数字，定义两个网格相邻当且仅当满足如下条件之一：

• 列相同。
• 行相同且列编号相邻，注意：列 \(1\) 和 \(n\) 是相邻的。

网格集合 \(S\) 是一个连通块，当且仅当任意属于该集合的两个网格能够通过每次走相邻的网格，且不经过不属于该集合的网格互相到达。

对每个 \(i = 1, \dots, k\)，求颜色区间 \([\ell, r] \subseteq [1,2n]\) 个数，把网格上写的数在 \([\ell, r]\) 区间的所有数标记后，标记形成的极大连通块数量为 \(i\)。

\(1 \le n \le 10^5, 1 \le k \le 10\)。所有网格的数字构成一个 \(1 \sim 2n\) 的排列。

如果有心的话会发现这个题与 Two Segments 非常像。考虑扫描线，扫 \(r\)，对于每个 \(l\) 维护 \(f_r(l)\) 表示 \([l, r]\) 的极大连通块数量。

考虑加入 \(r\) 对 \([l, r-1]\) 的影响。先不考虑环，有如下几种情况：

• 周围没有标记点相邻，增加一个连通块。

• 有一个标记点相邻，连通块数量不变。用 @ 表示新加入的点，* 表示原来的标记点。

  ....*@.....
  ...........
  

• 有两个标记点相邻，连通块数量 \(-1\)。

  ....*@*.....
  ............
  

• 有三个标记点相邻，连通块数量 \(-2\)。

  ....*@*....
  .....*.....
  

• 与两个标记点相邻，但这两个标记点已经在一个连通块内，此时连通块数量不变，但由于刚刚的错误统计，需要修正为 \(+1\)。

  ....*@.....
  ....**.....
  

  \(-1+1 = \pm 0\)。

• 与三个标记点相邻，但这三个标记点已经在一个连通块内。修正为 \(+2\)。

  ....*@*....
  ....***....
  

不难观察到我们不需要讨论这么多情况的。

可以统计 L 型标记的个数 \(c_1\)，和相邻点的个数 \(c_2\)，容易发现变化就是 \(c_2-c_1+1\)。

对于环，还是分类讨论一下：

• 等价于刚刚两个相邻点的情况，不过在一个跨环的连通块内：

  *****@******
  ............
  

  或

  *******@....
  *......*****
  

  刚刚会统计为 \(0\) 个连通块，再加上 \(1\) 即可。

• 对于跨环的 L 型，可以将数组复制一份统计。

然后就考虑用线段树怎么维护。我们找到三个相邻点分别对应的数、L 型中最小的数，用区间加法可以实现。然后线段树中维护前 \(k\) 小就可以把以 \(r\) 为右端点的区间数量算出来。容易观察到刚刚跨环连通块的出现次数只有 \(\mathcal O(n)\) 次，最终单独统计一下就完了。总复杂度 \(\mathcal O(n k \log n)\)。