8.21 状态设计，DS, Ad-hoc

ZUMA

长度为 \(N\) 的序列，一次消除操作选择一个连续段，长度为 \(K\) 且 \(a_i\) 均相同，将连续段删除并拼接前后两段。求一个长度为 \(N+x\) 的序列 \(b\) 存在某种消除方式将其消除完，而且 \(a\) 是 \(b\) 的子序列，求 \(x\) 的最小值。

\(1 \le N \le 100, 1 \le K \le 5, 1 \le a_i \le 100\)

定义 \(f_{l, r, v, k}\) 表示区间 \(l, r\) 可以删到只剩 \(k\) 个数 \(v\) 的最小代价。于是可以打出 \(\mathcal O(n^3V^2K^2)\) 大暴力。

\(v\) 这一维开销太大了，考虑钦定 \(a_l= v\)。这样做的正确性在于最后要剩 \(k\) 个 \(v\)，那么其实 \(l\) 左边的数是独立于右边的数的。考虑反着定义一下，定义给某个区间右边放上 \(k\) 个 \(a_l\)，最后删光的最少代价。转移应该还是比较简单的。

T2 放个普及何意味？

[Ynoi Easy Round 2016] 这是我自己的发明

给一个树，\(n\) 个点，有点权，初始根是 \(1\)。

\(m\) 个操作，种类如下：

1 x 将树根换为 \(x\)。

2 x y 给出两个点 \(x, y\)，从 \(x\) 的子树中选每一个点，\(y\) 的子树中选每一个点，求点权相等的情况数。

\(1 \le n \le 10^5, 1 \le m \le 5 \times 10^5, 1 \le a_i \le 10^9\)。

换根操作对于子树来说意义不大，钦定一个全局根，对于当前树根 \(r\)，如果它在 \(u\) 子树内，则询问时 \(u\) 的子树变成 \([n] \setminus \mathrm{subtree}(u)\)，如果 \(u=r\) 则子树变为 \([n]\)。

困难的是第二问，用 dfn 序转化后变为给定 \(l_1, r_1, l_2, r_2\) 求 \(\displaystyle\sum _{x=l_1 }^{r_1}\sum _{y=l_2}^{r_2}[a_x=a_y]\) 。考虑枚举一个 \(v\)，使问题变为 \(cnt[a_x=v], cnt[a_y=v]\)，差分一下，设 \(g(x, r)=\displaystyle\sum _{i=1}^r [a_i=x]\)，则询问转化为：

• \(q_1\)：\(\sum _x g(x, r_1) \times g(x, r_2)\)。
• \(q_2\)：\(\sum_x g(x, r_1) \times g(x, l_2-1)\)。
• \(q_3\)：\(\sum _x g(x, l_1-1) \times g(x, r_2)\)。
• \(q_4\)：\(\sum _x g(x, l_1-1) \times g(x, l_2-1)\)。

求 \(q_1+q_4-q_2-q_3\) 的值。莫队的复杂度是 \(\mathcal O(n \sqrt m)\) 的，算一下发现大约在 \(5\times 10^7\) 量级，带 \(4\) 倍常数。然而实际上我们需要将数组倍增一份，所以大概在 \(4 \times 10^8\)，卡卡就过了。

考虑到以前的机子很慢，优化一点常数，对于去除子树时的问题：将询问从 \([L, R]\) 改为 \([1, L], (R, n]\)，设问题的答案为 \(f(l_1, r_1, l_2, r_2)\)，记 \(h(l, r) = f(1, l, 1, r), p(r, r) = f(l, n, 1, r)\)，则我们要做：

• Case 1: 一个在扣，\(f(1, l_1, l_2, r_2)+f(r_1+1, n, l_2, r_2)\)，变为 \(h(l_1, r_2)-h(l_1, l_2-1)+p(r_1+1, r_2)-p(r_1+1, l_2-1)\)，四次询问解决。
• Case 2: 两个都在扣，\(f(1, l_1, 1, l_2)+f(1, l_1, r_2+1, n)+f(r_1+1, n, 1, l_2)+f(r_1+1, n, r_2+1, n)\)，容易发现这就是 \(h(l_1, l_2)+p(r_2+1, l_1)+p(r_1+1, l_2)+反正也能搞\)。四次询问解决。

但是现在的机子很快，直接就能过。

[QOJ12121] Golf

构造一个符合以下条件的图：

• 拥有不超过 \(n\) 个点。
• 除了点 \(1\) 和 \(2\) 以外，每个点有且仅有 \(2\) 条出边（允许重边）
• 每个点都能到达 \(1,2\) 之一。
• 从某个点 \(s\) 出发，等概率随机选取出边走，到 \(1,2\) 时停止，最终停在 \(1,2\) 的概率分别为 \(\dfrac{a}{a+b}\) 和 \(\dfrac{b}{a+b}\)。

\(33 \le n \le 100, 1 \le a, b \le 10^9\)

考虑现在我们有两个点，需要 \(a : b\) 的到达比例。数据范围强烈提示折半做。假设 \(a > b\)，考虑我们可以通过一步规约到 \(\dfrac{a-b}{2}, b\) 的子问题。和减少了 \(\dfrac{1}{2}\)，最后直到有一个数变为 \(0\)。然而并不是每次都能确保 \(\dfrac{a-b}{2}\) 都是整数的，所以这样做只能解决到 \(a+b=2^k\) 的问题。

考虑拓展这个做法。考虑沿用这个每次和减半的想法，凑一个数 \(c\)，使 \(a+b+c= 2^k\)，则 \(k \le 31\)。

最后把比例为 \(c\) 的返回起点就能消除 \(c\) 的影响。然后考虑如何折半，容易发现 \(k=0\) 时必然存在一个位置为 \(1\) 其余为 \(0\)，直接返回 \(1\) 的位置为起点即可；其余情况，\(2^k\) 必然为偶数，则 \(a, b, c\) 中至少有一个偶数。选择不是偶数的那两个做之前的操作，然后对于偶数直接除以 \(2\) 即可。注意卡一下边界，对于 \(1, 1, 0\) 的结尾情况，直接用起点连一下就好了，不需要多开一个。

[QOJ5059] Plants vs Zombies

自己看。

考虑到每只僵尸除了豌豆击打以外没有关系。直接按时间维模拟就完了。复杂度均摊 \(\mathcal O(n \log n)\)。