No Zero-Sum Subsegment

[QOJ5530] No Zero-Sum Subsegment

求序列个数，模 \(998244353\)：

• 有 \(A\) 个元素等于 \(-2\)，\(B\) 个等于 \(-1\)，\(C\) 个等于 \(1\)，\(D\) 个等于 \(2\)。
• 任意子区间的和不为 \(0\)。

\(A,B,C,D \le 10^6\)。多测，\(T \le 10^5\)。

NOIP2024 联考时考过，我一定没有好好补题。

UPD:怎么写过题解/ll。

考虑到任意子区间的和不为 \(0\) 可以刻画为前缀和序列 \(s\) 没有任何元素相同。进一步地，看做在数轴上的跳跃。因为每次跳跃的距离很小，考虑分类讨论。如果相邻的两个位置曾经跳过，划分了数轴跳到某一边后，那么后面无法再跳到另一边。

一个很容易感受到的特殊跳法：\(+2,+2,\dots,+2,\pm 1,-2,\dots,-2,-2\)。

我们知道最后要跳到 \(S=-2A-B+C+2D\)。不妨设 \(S>0\)，则刚刚那个跳法不可能在位于 \(S\) 的左侧发生，否则无法回来了，但是有可能在 \(S\) 的右侧一直跳跳跳。同理在原点，我也可以先往前跳，\(-2,-2,\dots,-2,\pm 1, +2, +2,\dots, +2\)，跳回来。

注意在原点还有一种情况：就是不那么花里胡哨地跳过去再跳回来，直接往 \(S\) 跳。

而往 \(S\) 跳也有两种方法，一是 \(+2,-1, +2\)，走 3 步；二是 \(+1\)，走 \(1\) 步，容易发现总共会消耗 \(S-\mathrm{eps}\) 个元素。

我们分类讨论原点起跳和 \(S\) 点结束跳跃的 \(3 \times 3 = 9\) 种情况，得到 \(\mathrm{eps}\) 的值，顺带可以计算出往 \(S\) 跳的一二两种情况的分别次数，最后得到 \(\pm 2\) 的使用个数。然后这就是组合大芬，吃一吃就好了。（比 NOIP2025 sale 难吗？）