[ARC224F] AND/OR

[ARC224F] AND/OR

给定正整数 \(n\) 和长为 \(n\) 的序列 \(A\)。最初，\(x=0\)，接下来依次进行操作，\(i = 0,1,\dots, n\)：

• 选择将 \(x\) 按位与上 \(A_i\)，或将 \(x\) 按位或上 \(A_i\)。

其中，按位或的操作不能进行超过 \(K\) 次。设这样的操作能够得到的最大值为 \(M\)，求有多少种不同的操作方法可以得到 \(M\)。

\(1 \le K \le n \le 2 \cdot 10^5, 0 \le A_i < 2^{60}\)。

\(M\) 显然等于最后 \(K\) 个 \(A_i\) 按位或的值。

接下来进行调整。倒着看，为了不破坏最大的性质，如果想让 \(A_j\) 的位置使用与运算（而后面全部是或），只需要关注此处必须为 \(1\) 的位，即 \(A_{j+1} \sim A_{n}\) 都不为 \(1\) 但 \(M\) 为 \(1\) 的位，令这些位的掩码为 \(S\)，则 \(S \subseteq A_j\)，且\(A_{1 \sim j-1}\) 的运算得到的数 \(x\) 必须满足 \(S \subseteq x\)。

不妨先进行一个暴力搜索的算法：记录当前位 \(i\) 与得到的 \(x\) 的要求（必须为 \(1\) 的位，掩码 \(S\)），采取或运算的 \(A_i\) 个数 \(j\)。

对于 \(A_i\)，如果 \(S \subseteq A_i\)，那么此处可以选择使用与运算，\(S\) 不变；而此处使用或运算的直接结果是 \(S \gets 0\)，即前面没有要求，随意填。

如果 \(S \nsubseteq A_i\)，则此处只能使用或运算；结果是使 \(S \gets S \operatorname{AND} \overline{A_i}\)。

所以我们发现第一种情况的分支可以直接计算，第二种情况没有分支。所以可以直接 dp 了，只是一个递推。

由于 \(i\) 和 \(K-j\) 一直在减小，所以下指标求和是可以做到 \(O(n)\) 的。

为什么 ds 做不来大水题。👿(你为什么要拿 ds 做呢)