[CF735E]Ostap and Tree

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很 ok 的计数题。

Description

给 \(n\) 个节点的树染色，要求每个节点到最近的染色点的距离不超过 \(m\)，求染色方案数。

原数据：\(1 \le n \le 100\)，\(1 \le m \le 20\)，加强：\(n \times m \le 10^7\)。

Solution

设 \(d_i\) 表示 \(i\) 号节点到最近的染色点距离。显然，一组 \(\{d_n\}\) 至多对应 \(1\) 个方案。一个方案必然对应一组 \(\{d_n\}\)。

证明（前一个结论；后一个类似）：\(d_i = 0\) 是点 \(i\) 被染色的充要条件。确定哪些节点 \(i\) 被染色后，所有 \(d_i\) 都是确定值。

问题转变为求合法的 \(\{d_n\}\) 数量。

合法，即存在一种染色方案与之对应。经过严谨推理，合法的 \(\{d_n\}\) 满足这样的充要条件：

• 相邻节点的 \(d_i\) 差值绝对值不超过 \(1\)。
• 对于 \(d_u \neq 0\) 的节点，其相邻节点中必须存在 \(d_v=d_u-1\)。

形式证明有点麻烦，可以感性理解一下。

立即就有状态定义：\(f_{u,k,0/1}\) 表示 \(d_u=k\)，且除父亲外，\(u\) 节点 无/有 相邻节点 \(v\) 满足 \(d_v=d_u-1\)（钦定 \(k=0\) 时这一维为 \(1\)）。合并 \(u,v\) 状态是容易的（新状态为 \(f'\)）：

\[\begin{aligned} &f'_{u,k,1} = f_{v,k-1,1} \times f_{u,k,0}+(f_{v,k-1,1}+f_{v,k,1}+f_{v,k+1,1}+f_{v,k+1,0})f_{u,k,1}\\ &f'_{u,k,0}=(f_{v,k,1}+f_{v,k+1,1}+f_{v,k+1,0})f_{u,k,0} \end{aligned} \]

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