[AGC062B]Split and Insert

不是 AGC 怎么做到题题代码短，思维量大的？

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Description

给定一个排列 \(A=(A_1,A_2,\dots,A_N)\) 。一开始，排列满足 \(A_i=i\ (1\leq i \leq N)\)。接下来高桥会进行 \(K\) 次操作，操作如下：

• 任意选择一个 \(k\) ，选择排列最末尾 \(k\) 个元素，将其插入进前面 \(n-k\) 个元素。形式化的，操作之后的排列需要满足：
  1. \((A_1,A_2,\dots,A_{N-k})\) 是一个操作后排列子序列（不要求连续）
  2. \((A_{N-k+1},A_{N-k+2},\dots,A_{N})\) 是操作后排列的一个子序列（不要求连续）

定义所有操作的代价是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{K}k_iC_i\)，其中 \(k_i\) 表示第 \(i\) 轮选择的 \(k\) 。

现在高桥君想问你能否在 \(K\) 次以内将排列变为 \((P_1,P_2,\dots,P_N)\)，如果可以输出最小代价，如果不能输出 \(-1\) 。

• $ 2 \leq\ N \leq 100 $
• $ 1 \leq\ K\leq 100 $
• $ 1 \leq\ C_i\leq 10^9 $
• $ (P_1,P_2,\dots,P_N)$ 是 \(1\) 到 \(N\) 的排列。
• 所有输入均是整数。

Solution

倒着考虑，发现一次逆操作为：选一个长为 \(k_i\) 的 \(A\) 的子序列放在最后。最初状态为 \(P\)，问它执行 \(K\) 次逆操作能否有序，并输出最小代价。

从值域方向考虑，最后一次逆操作时，应当满足选的子序列值域为 \([1,x]\)，剩下的子序列 \([x+1,N]\)，且这两个子序列必须有序。这启发我们从值域进行区间 \(\rm dp\)。

定义 \(f_{i,l,r}\) 表示 \(i\) 次逆操作后，\([l,r]\) 这一段值域在序列中已经有序的最小代价。

转移：\(f_{i,l,r}=\displaystyle\min_{x=l}^{r}\{f_{i-1,l,k}+f_{i-1,k+1,r}+(r-x)C_{K-i+1}\}\)。

边界：\(f_{0,l,r}=\) 值域为 \([l,r]\) 的子序列在 \(P\) 序列中有序。

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