[CF348D]Turtles

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Description

\(n \times m\) 之网格\(^\dagger\)禁走入志之 # 处\(^\dagger\)二鳖始于 \((1,1)\) 矢之 \((n,m)\) 其移者惟下或右行一格也\(^\circ\)计无交之数。

\(^\dagger\)注二鳖无异也。

\(1 \le n,m \le 3000\)。

Solution

容斥 \(\rm dp\)。考虑两个鳖走的方案的形态，只有可能是第一个鳖从 \((1,1) \to (1,2) \to \dots \to (n-1, m) \to (n,m)\)，另一个鳖走 \((1,1) \to (2,1) \to \dots \to (n,m-1) \to (n,m)\)。

两个可以分别 \(\rm dp\) 出路径方案相乘得到答案。这样路径还是有相交的。我们假设这样两条个路径 \(P_1=\{(1,1),p_1,p_2,\dots,p_{n+m-2},(n,m)\}\) 和 \(P'_1=\{(1,1),p'_1,p'_2,\dots,p'_{n+m-1},(n,m)\}\)。这里，钦定 \(p_1=(1,2)\)，\(p'_1=(2,1)\)，\(p_{n+m-2}=(n-1,m)\)，\(p'_{n+m-2}=(n,m-1)\)。

若点 \(p_i=p'_i\) 即路径出现相交（钦定这个 \(i\) 是所有满足该条件最小的），则该路径唯一对应一个新路径（新路径也唯一对应该路径）：对所有 \(n \ge j> i\) 交换 \(p_i,p'_{i}\)，最终得到新路径 \(P_2,P_2'\)。

可以证明 \(P_2\) 个数相当于从 \((1,2)\) 走到 \((n,m-1)\) 的方案数，\(P_2'\) 个数相当于从 \((2,1)\) 走到 \((n-1,m)\) 的方案数。是故再使用 \(\rm dp\) 统计其方案即可，复杂度 \(\mathcal O(nm)\)。

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