[AGC043D]Merge Triplets

AGC 的题都比较有情趣。

Description

对于一个长为 \(3n\) 的排列 \(a\)，使用其生成等长的排列 \(p\)，生成方法如下：

• \(p\) 初始为空。
• 将序列 \(a\) 等分成 \(n\) 段，第 \(k(0\le k<n)\) 段包含 \(a_{3k+1},a_{3k+2},a_{3k+3}\)。
• 定义 \(n\) 个指针，初始分别指向每段中的第 \(1\) 个元素，即 \(a_{3k+1}\)。
• 执行若干次下面的操作，直到所有指针均被销毁：寻找当前所有指针指向元素的最小的一个，将该元素放在 \(p\) 的最后面，并让指向该元素的指针右移 \(1\)，若移出当前所在段，则销毁该指针。

求总共能生成出多少不同的 \(p\) 序列，对 \(m\) 取模。

\(1\le n\le 2000,10^8 \le m \le 10^9+7\)

Analysis

一个显然的思路方向是关心 \(p\) 能否被生成出来。不难发现，如果存在 \(i<j \land p_i > p_j\)，那么 \(p_i,p_j\) 必定被分在原序列 \(a\) 的同一段中。

接下来又发现 \(p_i,p_j\) 必定还满足相邻或只隔了一个数（而且隔开的这个数也与他们在同一段内），这是一个必要条件。这个必要条件看上去非常迂蠢，因此找到 \(p\) 的前缀 \(\max\) 数组 \(h\)，发现这个条件等价于 \(h\) 中连续段长度不超过 \(3\)。

于是可以先将 \(p\) 的前缀 \(\max\) 数组日出来，分出 \(k\) 个段。

例如 \([3,1,2,4,6,5]\to[3,3,3,\mid 4 \mid 6, 6]\)，构造 \(a=\lang 3, 1,2,4,6,5\rang\) 即可。

然后列着列着 \([3,1,4,2,6,5] \to [3,3 \mid 4,4 \mid 6,6]\)，然后尝试构造，有这几条限制，\(3\) 与 \(1\)、\(4\) 与 \(2\)、\(6\) 与 \(5\) 在同一个三元组中，然后仔细一瞧，哟，似了。由于三元组只有两个，所以每个二元段都必须要搞出第三个数，然而在该序列中全为 \(2\) 元段，所以搞不出单独的第三个数。

所以自然而然地想出 \(p\) 的前缀 \(\max\) 数组 \(k\) 个段中，长度为 \(2\) 的数量必须少于长度为 \(1\) 的数量，不然凑不出来了。

那么寻求普遍性，是不是所有满足这个条件的 \(p\) 一定存在一个 \(a\) 与之对应？

假设 \(s_i=\max\limits_{j\le i}\{p_j\}\) 有 \(k_1\) 个长为 \(1\) 的连续段，\(k_2\) 个长为 \(2\) 的连续段。满足 \(k_1 \ge k_2\)。

长为 \(3\) 的连续段对构造无影响（直接给它们放一块就可以听候安排了），可以不妨设不存在。

先尝试着消掉所有 \(2\) 连续段：假如存在一个 \(1\) 连续段排在他前/后，那么就组建一个 \(a\) 中的三元段，让该 \(2\) 连续段的前/后放上这个孤独的数。

剩下的 \(1\) 连续段直接按顺序排即可。

这样构造的合理性在于，由于是前缀最大值，单调递增，这样构造后一定会先将前缀最大值所在组按顺序干掉，只需考虑单个三元段中的顺序即可。

Solution

于是可以使用 \(\rm dp\)，令 \(f_{i,j}(i\in[1,3n],j\in[-n,n])\) 为考虑到第 \(i\) 位，限制当前第 \(i\) 位为最后一个前缀 \(\max\) 连续段的末尾，\(1\) 段个数减 \(2\) 段个数为 \(j\) 的方案数。

转移

\[ f_{i,j}\overset{+}{\gets} \begin{cases} f_{i-1,j-1}&l_k=1\\ f_{i-2,j+1}\times(i-1) &l_k=2\\ f_{i-3,j}\times(i-1)\times(i-2) &l_k=3 \end{cases} \]

\(\mathrm{ans}=\displaystyle\sum_{j\ge0} f_{3n,j}\)。

如果多加仔细观察的话，会发现此处的转移之所以如此之简单，还有一个重要的 \(\rm dp\) 思想，就是由于前面得到的 \(\rm dp\) 值是只考虑到第 \(x\) 位，填的是 \(1 \sim x\) 的数，转移到当前的第 \(i\) 位，显然这里也只填从 \(1 \sim i\)，当前块第一个放的一定是 \(i\)，第二个和第三个先钦定为 \(i-1,i-2\)，再在前面找到数与之交换（也可不交换）由于 \(i-1,i-2\) 均是大于前面的数的，所以对合法性无影响。