[CF1806E]Tree Master

尝试 10min 思考无果。

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Description

给定一棵 \(n\) 个节点的树，第 \(i\) 个节点的父亲是 \(p_i\)，点权为 \(a_i\)。根节点为 \(1\)，定义 \(p_1=0\)。定义：

\[f(x,y)=\begin{cases} f(p_x,p_y)+a_xa_y &x\neq0\land y\neq 0\\ 0 &\text{Otherwise} \end{cases} \]

给出 \(q\) 组询问，每组询问给出 \(s,t\)，求 \(f(s,t)\)。\(s,t\) 到根节点的距离相等。

Solution

直接进行记忆化搜索。约定：第 \(d\) 层是到根距离为 \(d\) 的节点集合。每一次递归都会减少一层。分析时间复杂度：

• 对于节点数 \(< \sqrt{n}\) 的层：对于每个节点数为 \(x\) 的层，树中不会有超过 \(\dfrac{n}{x}\) 个这样的层，这一层经过记忆化共有 \(x^2\) 个节点，所以节点数为 \(x\) 的层总复杂度为 \(\mathcal O(nx)\)，\(x\le\sqrt{n}\)，所以复杂度对于所有层来说就只有 \(\mathcal O(n\sqrt{n})\)。

• 对于节点数 \(\ge \sqrt{n}\) 的层：这样的层不超过 \(\sqrt{n}\) 个，共 \(q\) 次询问，时间复杂度为 \(\mathcal O(q \sqrt n)\)，对于这样的层，我们无需记忆化，也可以保证复杂度。

对于节点数 \(\le \sqrt{n}\) 的层适合使用记忆化，建议直接用数组存储，空间复杂度为 \(\mathcal O(n\sqrt{n})\)。时间复杂度为 \(\mathcal O((n+q)\sqrt{n})\)。

算不算根号分治？

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