一道题

statement

给定长为 \(n\) 的数列 \(A_i,B_i\)，求所有 \(n\) 排列 \(P_i\) 的权值最小值。\((2\le n \le10^6)\)

• 排列权值 \(=\max\left\{\max \limits_{1 \le i \le n} \{A_{P_i}^2-B_{P_{(i \bmod n)+1}}^2\},0\right\}\)。

solution

子任务 \(1\)：\(n \le 10\)，随心所欲的大暴力，阶乘复杂度转状压 dp，很典。

正解：求最大值最小，思维也许会被局限在二分上。然而，当发现难以 check 时，需跳出思维困境。

题面就是 \(n\) 个点，\(u \to v\) 这条边权为 \(A_u^2-B_v^2\)，选择其中一些边，构成一个简单环包含所有点，这个简单环的最大权值最小。显然，刚好选择 \(n\) 条边。

不妨设 \(A_i\) 有序。

只考虑构成 \(1\) 个环的必要条件：出入度均为 \(1\)。这时就是一个贪心。假设当前 \(A_i\) 匹配 \(B_{l_i}\)，来找一个 \(l_i\) 的最佳排列顺序。把某种 \(l\) 的排列方式交换 \(l_{i+1},l_i\)，那么若 \(B_{l_{i+1}} \le B_{l_i}\) 交换后一定不差，癔症。因而 \(A_1\) 就该匹配最小的 \(B_i\)，\(A_2\) 匹配慈孝的，以此类推。

这样搞就轻松拿捏 \(77\) 分了。但方法本身是有巨大问题的，它不充分，因此你的答案会变小。上述算法结束后，会生成若干个环。假设现在的 \(l_i\) 是最优排序后的。从调整角度入手，有如下引理：

1. 若存在点 \(l_i,l_{i+1}\) 或 \(i,i+1\) 不在同一环内。断掉 \(i\) 到 \(l_i\) 和 \(i+1\) 到 \(l_{i+1}\) 的边，连接 \(i\) 到 \(l_{i+1}\)，\(i+1\) 到 \(l_i\) 的边，则一定可以使 \(l_i,l_{i+1}\) 和 \(i, i+1\) 在同一个环内。

2. 连接除 1. 以外的其他边一定不优。

引理 1 是显然的。引理 2 中，假设 \(j > i+1\)，\(i\) 连接 \(l_j\)，那么 \(j\) 连接 \(l_i\)。显然 \(j-1\) 连到 \(l_j\) 的边权更小，以此类推，这样直接连肯定不比一个一个的连接 \(i,i+1\)，\(i+1, i+2\)，\(\dots\)，\(j-1,j\) 优秀。

于是我们想到冰茶集。将引理 1 中的边按边权排序，按顺序连接，不在同一环中的连，并贡献给答案，最终一定形成一个环。

所以……

code

#include <bits/stdc++.h>
#define PII pair<int,int>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; i++)
#define per(i, r, l) for (int i = r; i >= l; i--)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6+5, mod = 32767;
struct edge {
	int u, v, w;
} ed[N];
int n, id1[N], id2[N], fa[N], a[N], b[N];
inline int get(int x) {
	return x == fa[x] ? x : (fa[x] = get(fa[x]));
}
inline bool merge(int x, int y) {
	x = get(x), y = get(y);
	if (x == y) return false;
	fa[y] = x;
	return true;
}
signed main() {
	FASTIO;
	int xx, yy, zz;
	cin >> n >> a[1] >> a[2] >> xx >> yy >> zz;
	rep(i, 3, n) a[i] = (xx*a[i-1]%mod+yy*a[i-2]%mod+zz)%mod;
	cin >> b[1] >> b[2] >> xx >> yy >> zz;
	rep(i, 3, n) b[i] = (xx*b[i-1]%mod+yy*b[i-2]%mod+zz)%mod;
	rep(i, 1, n) fa[i] = id1[i] = id2[i] = i;
	sort(id1+1, id1+n+1, [](const int& x, const int& y) { return a[x] < a[y]; });
	sort(id2+1, id2+n+1, [](const int& x, const int& y) { return b[x] < b[y]; });
	int ans = 0;
	rep(i, 1, n) {
        int x = id1[i], y = id2[i]; merge(id1[i],id2[i]);
        ans = max(ans, a[x]*a[x]-b[y]*b[y]);
	}
    rep(i, 1, n-1) {
		int x = id1[i+1], y = id2[i];
		ed[i] = {x, y, a[x]*a[x]-b[y]*b[y]};
	}
	sort(ed+1, ed+n, [](const edge& x, const edge& y) { return x.w < y.w; });
	rep(i, 1, n-1) if (merge(ed[i].u, ed[i].v)) ans = max(ans, ed[i].w);
	cout << ans;
	return 0;
}