超大背包问题(折半枚举, 双向搜索)

有重量和价值分别为wi, vi (1 <= wi, vi <= 1e15)的n (1 <= n <= 40)个物品，从中挑选总重不超过W(1 <= W <= 1e15)的物品，求价值总和最大值。

这是典型的01背包问题，不过dp求解复杂度为O(nW)，这里W太大了，因此无法求解。挑选物品方法共有2^n种，也无法直接枚举。但是拆成两半再枚举的话还是可行的，每部分最多只有20个。假设第一部分某个选取方法对应的重量和价值为w1, v1，那么只要在第二部分中寻找w2+w1<=W且v2最大的方法就行了。寻找时可以用二分查找，总时间复杂度为O(2^(n/2)n)，可以接受。

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using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 50;
const LL INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
LL w[maxn], v[maxn];
LL W;
pair<LL, LL> ps[1<<(maxn/2)];   // (重量, 价值)

void solve()
{
    //枚举前半部分
    int n2 = n / 2;
    for (int i = 0; i < (1<<n2); ++i)
    {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for (int j = 0; j < n2; ++j)
            if ((i >> j) & 1)
            {
                sw += w[j];
                sv += v[j];
            }
        ps[i] = make_pair(sw, sv);
    }
    
    //去除多余的元素
    sort(ps, ps+(1<<n2));
    int m = 1;
    for (int i = 1; i < (1<<n2); ++i)
        if (ps[m-1].second < ps[i].second)
            ps[m++] = ps[i];
            
    //枚举后半部分并求解
    LL res = 0;
    for (int i = 0; i < (1<<(n-n2)); ++i)
    {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for (int j = 0; j < n-n2; ++j)
            if ((i >> j) & 1)
            {
                sw += w[n2 + j];
                sv += v[n2 + j];
            }
        if (sw <= W)
        {
            LL tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;
            res = max(res, sv+tv);
        }
    }
    
    printf("%lld\n", res);
}

int main()
{
    while (~scanf("%d%lld", &n, &W))
    {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);
        solve();
    }
    return 0;
}

/*
Sample Input
4 5
2 3
1 2
3 4
2 2
Sample Output
7
*/