题解：P6944 [ICPC 2018 WF] Gem Island

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先刻画随机分裂的过程。发现操作序列是随机的，第 \(i\) 天宝石增加前总共有 \(n + i - 1\) 颗宝石，在其中随机选择一颗进行分裂，于是总情况数为 \(n ^ {\overline{d}}\)。

再考虑最终方案对应的操作序列数。记 \(a_i\) 为第 \(i\) 个人 \(d\) 天后的宝石数。

先钦定每天获得宝石的人，是多重集排列数 \(\binom{d}{a_1 - 1, a_2 - 1, \cdots, a_n - 1}\)；再考虑一个人获得宝石的过程，当它有 \(i\) 颗宝石时，它的下一颗宝石生成的方案数为 \(i\)，于是总方案数为 \((a_i-1)!\)。

乘到一起发现抵消了！每个可能的 \(a\) 对应的方案数均为 \(d!\)，因为操作序列随机，所以每个 \(a\) 的概率是均等的 \(\frac{d!}{n ^ {\overline{d}}}\)。

记 \(F(a)\) 为序列 \(a\) 中前 \(k\) 大的值，答案即为：

\[\sum_{a} F(a)\cdot\frac{d!}{n ^ {\overline{d}}} = \frac{d!}{n ^ {\overline{d}}} \sum_{a} F(a) \]

问题转换为求 \(\sum_{a} F(a)\)，\(a\) 满足 $\sum_{i} a_i = n + d $ 且 \(a_i \ge 1\) 。转换一下，记 \(b_i = a_i - 1\)，那么 \(b\) 满足 \(\sum_{i} b_i = n\) 且 \(b_i \ge 0\)，这是经典问题。

记 \(f_{i,j}\) 为将 \(j\) 有序拆分为 \(i\) 个非负数的方案数，\(g_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 对应的所有情况的前 \(r\) 大数的和之和，转移枚举有多少正整数即可。

\(b\) 的答案求出来了，又因为 \(a_i = b_i + 1\)，答案即为 \(\frac{g_{n, d}}{f_{n,d}} + r\)。用 long double 存储。\(O(n^2d)\)。

const int N = 505;
int n, d, r; ld C[N][N], f[N][N], g[N][N];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> d >> r;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        f[i][0] = C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++) C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) for(int s = 1; s <= d; s++){
        for(int j = 1; j <= min(i, s); j++){
            f[i][s] += f[j][s - j] * C[i][j];
            g[i][s] += (g[j][s - j] + f[j][s - j] * min(j, r)) * C[i][j];
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(7) << ((ld)g[n][d] / f[n][d] + r) << endl;
    return 0;
}