题解：P1291 [SHOI2002] 百事世界杯之旅

题意： 一随机序列，每个位置等概率为 \(1\) 到 \(n\) 中的一个数，求该序列的第一个包含 \(1\) 到 \(n\) 所有数的前缀的长度的期望值。

杀鸡应用牛刀。

记 \(f_i\) 为 \(i\) 第一次出现的位置，所有 \(f_i\) 组成集合 \(S\)，答案即为 \(E(\max(S))\)。想到 Min-Max 容斥，我们有：

\[\begin{align*} E(\max(S))&=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{\lvert T\rvert+1}E(\min(T)) \\\\ &=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{\lvert T\rvert+1}\frac{n}{\lvert T\rvert} \\\\ &=n\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\binom{n}{i}\frac{1}{i} \end{align*}\]

其中第一行到第二行：\(E(\min(T))\) 为 \(T\) 对应 \(\lvert T\rvert\) 个数首次出现的位置的期望，这是经典的几何分布，而出现这些数的概率为 \(\frac{\lvert T\rvert}{n}\)，于是有 \(E(\min(T))=\frac{n}{\lvert T\rvert}\)。

预处理阶乘计算即可。