学习dp入门
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动态规划入门思路：dfs暴力--》记忆化搜索--》递推
跳台阶
可以先把递归的图先画出来
因为我们的dfs是去从5递推的去
dfs就是从下面往上推回去
dfs
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
using namespace std;
int dfs(int x){
if(x==1)return 1;
if(x==2)return 2;
else return dfs(x-1)+dfs(x-2);
}
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n;
int res=dfs(n);
cout<<res<<endl;
return 0;
}
但是我们发现好像有的地方会去重复，我们是不是可以用一个数组去存储这个值，到了递归到这里直接给出答案就行了。
dfs+记忆化搜索
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
int mu[105]={0};//用这个来记忆以及走过的值
using namespace std;
int dfs(int x){
if(mu[x])return mu[x];
int sum=0;
if(x==1)sum=1;
else if(x==2)sum=2;
else sum=dfs(x-1)+dfs(x-2);
mu[x]=sum;
return sum;
}
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n;
int res=0;
res=dfs(n);
cout<<res<<endl;
return 0;
}
dp求解
我们可以直接归，从下面的问题直接到底说明的问题
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
int mu[105]={0};
int dp[105];
using namespace std;
//int dfs(int x){
// if(mu[x])return mu[x];
// int sum=0;
// if(x==1)sum=1;
// else if(x==2)sum=2;
// else sum=dfs(x-1)+dfs(x-2);
// mu[x]=sum;
// return sum;
//}
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n;
//初始化
dp[1]=1;dp[2]=2;
if(n==1||n==2){
cout<<dp[n]<<endl;
}
for(int i=3;i<=n;i++){
//状态转移
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
cout<<dp[n]<<endl;
return 0;
}
也可以用滚动的方式交换位置就可以了
大盗阿福
题意就是偷金点不能连着去偷，只能有间隔的去偷；
画出流程树状图
dfs
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
int m[109]={0};
int mu[105]={0};
int dp[105];
using namespace std;
int dfs(int x){
if(x>n)return 0;
else return max(dfs(x+1),dfs(x+2)+m[x]);
}
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>m[i];
}
int res=dfs(1);
cout<<res<<endl;
}
return 0;
}
dfs+记忆化数组
用数组去存储记忆已经存在的东西
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
int m[109]={0};
int mu[105]={0};
int dp[105];
using namespace std;
int dfs(int x){
if(mu[x])return mu[x];
int sum=0;
if(x>n)sum=0;
else sum=max(dfs(x+1),dfs(x+2)+m[x]);
m[x]=sum;
return sum;
}
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>m[i];
}
memset(mu,0,sizeof(mu));
int res=dfs(1);
cout<<res<<endl;
}
return 0;
}
dp加逆序递推
从图中可以看到，这个情况
和我们dfs开始写的一模一样从后面开始推回来
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
int m[109]={0};
int mu[105]={0};
int dp[105];
using namespace std;
const int N=1e5+10;
//int dfs(int x){
// if(mu[x])return mu[x];
// int sum=0;
// if(x>n)sum=0;
// else sum=max(dfs(x+1),dfs(x+2)+m[x]);
// m[x]=sum;
// return sum;
//}
int f[N];
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>m[i];
}
memset(f, 0, sizeof f);
for(int i=n;i>=1;i++){
f[i] = max(f[i+1], f[i+2] + m[i]);
}
cout<<f[1]<<endl;
}
return 0;
}
dp加顺序递推
这个就要去考虑要去初始化了
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
int n;
int m[109]={0};
int mu[105]={0};
int dp[105];
using namespace std;
const int N=1e5+10;
//int dfs(int x){
// if(mu[x])return mu[x];
// int sum=0;
// if(x>n)sum=0;
// else sum=max(dfs(x+1),dfs(x+2)+m[x]);
// m[x]=sum;
// return sum;
//}
int f[N];
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>m[i];
}
memset(f, 0, sizeof f);
f[0]=0;
f[1]=m[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
f[i] = max(f[i-1], f[i-2] + m[i]);
}
cout<<f[n]<<endl;
}
return 0;
}
01背包
题目
n个物品，体积v[i]，价值w[i]，背包容量V，求最大价值（每个物品只能选一次）
dfs
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 105;
int n, V;
int v[N], w[N];
// dfs(i, j) = 从前i个物品中选，剩余容量为j，能获得的最大价值
int dfs(int i, int j) {
if(i == 0) return 0; // 没有物品了
// 选择1：不选第i个物品
int skip = dfs(i - 1, j);
// 选择2：选第i个物品（容量够才能选）
int steal = 0;
if(j >= v[i]) {
steal = w[i] + dfs(i - 1, j - v[i]);
}
return max(skip, steal);
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> V;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
cout << dfs(n, V) << endl;
return 0;
}
dfs加记忆化搜索
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 105;
int n, V;
int v[N], w[N];
int memo[N][1005]; // 记忆化数组，-1表示未计算
int dfs(int i, int j) {
if(i == 0) return 0;
if(memo[i][j] != -1) return memo[i][j]; // 查缓存
// 不选
int skip = dfs(i - 1, j);
// 选
int steal = 0;
if(j >= v[i]) {
steal = w[i] + dfs(i - 1, j - v[i]);
}
return memo[i][j] = max(skip, steal); // 存缓存
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
memset(memo, -1, sizeof memo); // 初始化为-1
cin >> n >> V;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
cout << dfs(n, V) << endl;
return 0;
}
正序DP（递推）
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 105;
const int M = 1005;
int n, V;
int v[N], w[N];
int f[N][M]; // f[i][j] = 前i个物品，容量j的最大价值
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> V;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
// 初始化：f[0][j] = 0（前0个物品价值为0）
for(int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举物品
for(int j = 0; j <= V; j++) { // 枚举容量
// 不选第i个
f[i][j] = f[i-1][j];
// 选第i个（容量够）
if(j >= v[i]) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
}
cout << f[n][V] << endl;
return 0;
}
逆序DP
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 105;
const int M = 1005;
int n, V;
int v[N], w[N];
int f[N][M]; // f[i][j] = 从第i个到第n个，剩余容量j的最大价值
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> V;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
// 初始化：f[n+1][j] = 0（后面没有物品了）
for(int i = n; i >= 1; i--) { // 逆序枚举物品
for(int j = 0; j <= V; j++) { // 枚举容量
// 不选第i个，去i+1
f[i][j] = f[i+1][j];
// 选第i个，去i+1，容量减少
if(j >= v[i]) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i+1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
}
cout << f[1][V] << endl; // 从第1个开始，容量V
return 0;
}
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