CF678F Lena and Queries 题解

对于每一次询问，有 \(x\times q+y=ans\)。

可以推出： \(y=-q\times x+y\)，那么不难看出这是一个直线解析式，而 \(x,y\) 则是集合中的点，所以是固定的，斜率 \(-q\) 已给出，要使 \(ans\) 最大，那么截距，即直线与 \(y\) 轴交点越高。

那么可以想到维护凸包，维护凸包方法挺多，平衡树、李超线段树或是 cdq 其实都可以，但由于带增加与删除，所以 cdq 不好处理。看到删除可以选择平衡树，但增加不好维护。看到增加想到李超线段树，但又不好删除。

这个时候就轮到我们主角出场：线段树分治。

线段树上的每个节点代表这个时间存在的节点的集合，那么我们可以先离线预处理出来每个节点的进来和出去的时间，在线段树上进行区间修改。

注意：线段树分治不会进行上传与下放操作，节点间是独立的。

那么每放入一个点，维护上凸包的性质，保证斜率是递减的，如果不是就弹出之前的点。

对于每个询问，找到询问的时间，然后在线段树从上往下找，经过的每个节点都对这个节点中的集合求一次本询问的最佳答案，即斜率比前面小且比后面大的那个点，然后更新所有集合的最大值，求询问可以利用二分来解决。

时间复杂度：\(O(n\times\log_2^2(n))\)。

不够优秀，继续优化。

对于每次询问，按照斜率递减排序，然后利用每个集合的单调性，寻找出第一个最佳答案，即斜率比前面小比后面大的点。下次更新时就可以从这个点开始往下找了。

时间复杂度：\(O(n\times \log(n))\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,id[N],cnt,cnt2,nl,nr,k,lent[4*N],ans[N];
int num;
vector<int>f[4*N];
int t[4*N];
struct node
{
	int from,to,x,y;
}a[N];
struct ask
{
	int name,tim,a;
}q[N];
int cmp(node fi,node se)
{
	if(fi.x==se.x)return fi.y<se.y;
	return fi.x<se.x;
}
int cmp2(ask fi,ask se)
{
	return -fi.a>-se.a;
}
inline int ls(int x)
{
	return x<<1;
}
inline int rs(int x)
{
	return x<<1|1;
}
double clac(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	if(x1<=-1e17||x2<=-1e17)return 1e18;
	if(x1==x2)return 1e18; 
	return 1.0*(y1-y2)/(1.0*(x1-x2));
}
void build(int x,int l,int r)
{
	f[x].push_back(0);
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls(x),l,mid);
	build(rs(x),mid+1,r);
}
void update(int x,int l,int r)
{
	if(l>=nl&&r<=nr)
	{
		while(lent[x]>1&&clac(a[f[x][lent[x]]].x,a[f[x][lent[x]]].y,a[f[x][lent[x]-1]].x,a[f[x][lent[x]-1]].y)<=clac(a[k].x,a[k].y,a[f[x][lent[x]]].x,a[f[x][lent[x]]].y))lent[x]--;
		int len=f[x].size();
		if(len-1==lent[x])f[x].push_back(k),lent[x]++;
		else f[x][++lent[x]]=k;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=nl)update(ls(x),l,mid);
	if(mid<nr)update(rs(x),mid+1,r);
}
void search(int x,int l,int r)
{
	int len=lent[x]+1;
	for(;t[x]<len-1;t[x]++)
	{
		if(clac(a[f[x][t[x]]].x,a[f[x][t[x]]].y,a[f[x][t[x]+1]].x,a[f[x][t[x]+1]].y)<=-1.0*q[k].a)break;
	}
	if(t[x]!=0)
	{
		if(q[k].a*a[f[x][t[x]]].x+a[f[x][t[x]]].y>num)
		{
			num=q[k].a*a[f[x][t[x]]].x+a[f[x][t[x]]].y;
		}
	}
	else if(len>1)num=max(num,q[k].a*a[f[x][1]].x+a[f[x][1]].y);
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=nl)search(ls(x),l,mid);
	else search(rs(x),mid+1,r);
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int opt;
		scanf("%lld",&opt);
		if(opt==1)
		{
			int x,y;
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			a[++cnt]={i,n,x,y};
			id[i]=cnt;
		}
		if(opt==2)
		{
			int k;
			scanf("%lld",&k);
			a[id[k]].to=min(a[id[k]].to,i-1);
		}
		if(opt==3)
		{
			int x;
			scanf("%lld",&x);
			q[++cnt2]={cnt2,i,x};
		}
	}
	a[0].x=a[0].y=-1e18;
	build(1,1,n);
	sort(a+1,a+1+cnt,cmp);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		nl=a[i].from,nr=a[i].to,k=i;	
		update(1,1,n);
	}
	sort(q+1,q+1+cnt2,cmp2);
	for(int i=1;i<=cnt2;i++)
	{
		nl=q[i].tim,k=i;
		num=-9e18;
		search(1,1,n);
		ans[q[i].name]=num;
	}
	for(int i=1;i<=cnt2;i++)
	{
		if(ans[i]<=-9e18+5)printf("EMPTY SET\n");
		else printf("%lld\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}