主席树（萌新，复习用）

主席树是解决查询历史线段树值的问题的数据结构。

由于改变一个点值时，线段树改变不完全，所以利用一个线段树的空间存储一个历史值是很浪费空间的。

那么此时我们只需要建立一个根节点，对未改变的节点连边，对改变的节点新建节点，连边即可。

本算法思路极其简单，主要看代码实现。

void build(int &x,int l,int r)
{
	if(!x)x=++cnt;
	if(l==r)
	{
		f[x].data=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(f[x].ls,l,mid);
	build(f[x].rs,mid+1,r);
}

void update(int &x,int y,int l,int r)
{
	if(!x)x=++cnt;
	if(l==r)
	{
		f[x].data=k;
		return;
	}
	f[x]=f[y];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=nl)update(f[x].ls=0,f[y].ls,l,mid);
	else update(f[x].rs=0,f[y].rs,mid+1,r);
}

应用：解决区间第 \(k\) 小问题。

每加入一个数，建立一个版本的线段树，最后利用前缀和求解第 \(k\) 小。

void update(int &x,int y,int l,int r)
{
	if(!x)x=++cnt;
	if(l==r)
	{
		f[x].data=f[y].data+1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	f[x]=f[y];
	if(mid>=k)update(f[x].ls=0,f[y].ls,l,mid);
	else update(f[x].rs=0,f[y].rs,mid+1,r);
	pushup(x);
}
int search(int x,int y,int l,int r)
{
	if(l==r)return t[l];
	int sum=f[f[y].ls].data-f[f[x].ls].data;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(k<=sum)return search(f[x].ls,f[y].ls,l,mid);
	k-=sum;
	return search(f[x].rs,f[y].rs,mid+1,r);
}

思路仍然非常简单，此数据结构注重于应用，所以还要多练习。

P3919 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组）（纯模板）

P3834 【模板】可持久化线段树 2（应用模板）

P3567 [POI2014]KUR-Couriers（简单应用）

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P3302 [SDOI2013] 森林（树上主席树）

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P4559 [JSOI2018]列队（大变式）

P2633 Count on a tree（树剖主席树）

P3293 [SCOI2016]美味（主席树变式）

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