划分数与五边形数

划分数:\(F(x)=\frac{1}{\prod_i (1-x^i)}\)

欧拉函数:\(\Phi(x)=\prod_i (1-x^i)\)

五边形数:\(\Phi(x)=\sum_i (-1)^i\frac{i(3i\pm1)}{2}x^i\)

证明:https://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/80359560

等价于求偶数项-奇数项

用Ferrers图表示,设底层为m右上角所在斜线为s

定义变换,当m>s时把s丢到最底层,当m<=s时把m丢到前s行

大多数情况变换是可逆的,除了m=s或s+1且从上往下都是满的

这两种情况分别为s+1~2s和s~2s-1,即s(3s±1)/2,系数为(-1)^s

接着有\(F(x)\Phi(x)=1\),求逆即可O(n√n)

小常数O(n√n):Durfee square,枚举左上角开始的极大正方形边长h,右下两边各是一个max<=h的划分

posted @ 2021-01-23 16:08  gmh77  阅读(160)  评论(0编辑  收藏  举报