常用统计量
常用统计量有:
对于样本方差的系数,可能我们第一感觉都是1/n,
样本方差计算公式里分母为的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直
觉的,不符合直觉的是,为什么分母必须得是而不是才能使得该估计无偏。
首先,我们假定随机变量的数学期望是已知的,然而方差未知。在这个条件下,根据方差的定义我们有
由此可得
.
因此是方差的一个无偏估计,注意式中的分母不偏不倚正好是!
因此是方差的一个无偏估计,注意式中的分母不偏不倚正好是!
这个结果符合直觉,并且在数学上也是显而易见的。现在,我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时,我们会倾向于无脑直接用样本均值替
换掉上面式子中的。这样做有什么后果呢?后果就是,
如果直接使用作为估计,那么你会倾向于低估方差!
这是因为:
换言之,除非正好,否则我们一定有
,
而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计!
这个不等式说明了,为什么直接使用会导致对方差的低估。那么,在不知道随机变量真实数学期望的前提下,如何“正确”的估计方差呢?答案是把上式中的分母换成,通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点,我们就能获得对方差的正确估计了:
这是因为:
换言之,除非正好,否则我们一定有
,
而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计!
这个不等式说明了,为什么直接使用会导致对方差的低估。那么,在不知道随机变量真实数学期望的前提下,如何“正确”的估计方差呢?答案是把上式中的分母换成,通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点,我们就能获得对方差的正确估计了:
另一种办法是证明: