超球面和超球体
\(n\)维超立方体的体积很简单，即边\(s\)的\(n\)次方：\(s^n\)。
那\(n\)维超球的体积又是怎么样的呢？
首先，我们定义一些概念。圆周是2维圆盘的1维边界（界限）。球面是3维球体的2维表面（界限）。超球面（n维球面）和超球（n维球体）可以有不同的维数。普通的球面是2维球面。普通球体是3维球体。圆周也可以被称为1维球面。圆盘也可以被叫作2维球体。
\(n\)维容量是几何形体的\(n\)维“体积”。比如：
圆周的1维容量是它的周长，圆盘的2维容量是它的面积，
球面（2维）的2维容量是它的表面积，球体（3维）的3维容量是它的体积，
3维超球面的3维容量是它的超表面积，4维超球体的4维容量是它的4维超体积。
下面的表格显示出不同维度的超球体的\(n\)维容量（体积）和它们对应的超球面的边界（\(n-1\)维）容量（超表面积）：
| 维度 | 整体形 | 整体形n维容量（“体积”） | 边界形 | 边界形n-1维容量（“表面积”） |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 圆盘 (2维) | πr 2 | 圆周 (1维) | 2πr |
| 3 | 球体 (3维) | (4/3)π r 3 | 球面 (2维) | 4π r2 |
| 4 | 4维超球体 | (1/2)π2r4 | 3维超球面 | 2π2r3 |
| 5 | 5维超球体 | (8/15)π2r5 | 4维超球面 | (8/3)π2r4 |
| 6 | 6维超球体 | (1/6)π3r6 | 5维超球面 | π3r5 |
| 7 | 7维超球体 | (16/105)π3r7 | 6维超球面 | (16/15)π3r6 |
\[\frac{1}{(n/2)!}\pi^{n/2}r^n
\]
当\(n\)为奇数：
\[\frac{2^n((n-1)/2)!}{n!}\pi^{(n-1)/2}r^n \quad \text{或}\quad \frac{2^{(n+1)/2}}{n!!}\pi^{(n-1)/2}r^n
\]
这里\(n! = n(n-1)(n-2)\cdots\)(阶乘)，\(n!! = n(n-2)(n-4)\cdots\)(双阶乘)。
一般的，\(n\)维超球体的边界表面积（\(n-1\)维容量）等于“体积”（\(n\)维容量）乘以(\(n/r\))。其实你可以通过\(n\)维超球的“体积”（\(n\)维容量）对半径求导数得到它的超表面积（\(n-1\)维容量）。同样对\(n\)维超球对应的边界形的表面积（\(n-1\)维容量）对\(r\)在（\(0,r\)）上求积分可以得到\(n\)维超球的体积。
