csp-s2025第一题题解

题目传送门：洛谷P14361社团招新(club) 

比赛的过程中太过于浮躁粗心大意导致我第一题没做出来，赛后研究了一下，欣赏了几篇dalao的文章，来保存分享一下贪心思路

---

首先，根据题意不难得知，我们需要一种算法来实现有限制的最大值，而能实现这种思路的算法除了贪心就是动态规划 （还有暴力） 再根据数据范围来判断，10e5→线性→贪心！！！（还可能是线性DP，但为什么不选择原因后面讲）

再想贪心的思路，先抛开限制，光求最大值的话就很容易了，遍历每个人，选出当前人满意度的最大值，加到答案中，就可以AC了。OK！收工，下班

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

了吗？

并没有，我们还有一个硕大的限制摆在那里呢↓↓↓

---

---

那么这个限制该如何破解呢？

当↑当↑当↑当↓ !!

反悔式贪心来也！

反悔式贪心，顾名思义，就是在贪心的过程中发现有更小的代价可以替换之前更大的代价，那么就进行反悔。

应用

1.使用优先队列（priority_queue）建小跟堆储存当前人的最大值与次大值的差。
2.容易证得，当有一个社团的人数超过n/2时，其他两个社团一定没有超过，所以这是只需找出大于n/2的那个社团，再将答案减去其最大值与次大值的差的最小值（堆顶值），并不断删去这个社团的人（也就是弹出堆顶）直到数量小于等于n/2，最终的答案就是正确答案。

重中之重→贪心证明

前提：出现了超过n/2的情况
每个人的贡献有两种情况：

  1.三个社团满意度的最大值
  2.当迫不得已要更换社团时，剩下的两个社团满意度中的最大值

可能有人会问，为什么没考虑换了一次还要再换一次社团的情况？不会的，因为在前面的证明之中，
我们知道，最多有一个社团超出n/2个人，所以每个人最多只需要换一次社团就可以达到最终目的。
所以说，为了实现更换的操作，我们可以在加入社团的过程中，同时存储最大值与次大值的差，在最
后将减去超出n/2的部分的最大值与次大值的差，就可以实现更换队伍，这样也可以理解，为什么要
用优先队列小根堆来存了————减去的值越小，剩下的值越大。

综上，得证。

OK！下班！

 
在这里求个小关注吧(●'◡'●)