半导体器件建模仿真-NEGF-Poisson耦合

对于半经典输运，我们需要

本章主要介绍基于NEGF框架与Poisson方程耦合的半导体器件建模仿真的物理过程。

1. 初始猜测与哈密顿量构建

• 初始静电势 \(\phi(r)\)
  通常从求解无电荷的Laplace方程开始，得到一个仅由几何和边界电压决定的初始势场。也可从经典DD-Poisson解出发。

• 构建器件哈密顿量 \(H\)
  在真实空间基组（如有限差分网格）下，将器件离散化为一个矩阵。静电势作为对角项加入：

\[ H = H_0 + H_{pot} \]

其中, \(H_0\) 描述器件的本征能带结构, \(H_{pot} = -q \cdot \text{diag}[\phi(r_i)]\) 为势能项，是包含当前迭代静电势的对角矩阵。这就是NEGF与Poisson耦合的核心接口。

2. NEGF核心框架

• 计算电极自能 \(\Sigma_L, \Sigma_R\)
  自能描述半无限长电极对器件开放边界的影响。对于理想电极（表面格林函数法）：

\[ \Sigma_{L/R} = V_{d,c} \cdot g_{s}^{L/R} \cdot V_{c,d} \]

其中 \(g_s\) 是电极表面的推迟格林函数, \(V\) 是器件与电极的耦合矩阵。

• 计算推迟格林函数 \(G^r(E)\)
  描述系统能级和态密度的核心对象：

\[ G^r(E) = [(E + i\eta)I - H - Σ_L(E) - Σ_R(E)]^{-1} \]

其中, \(E\) 是能量点，后续需要在能量窗口积分。\(\Sigma = \Sigma_L + \Sigma_R\) 使有效哈密顿量非厄米，其虚部\(\eta\)给出态寿命。这个方程是NEGF方程核心的公式, 可以把器件的各种物理量联系起来. 当器件尺寸很大, 每一步NEGF计算都需对大量能量点进行矩阵求逆 (计算 \(G^r(E)\)), 消耗资源巨大, 这是主要瓶颈，需采用高效线性代数算法.

• 计算小于格林函数 \(G^<(E)\)
  它描述了器件内电子的非平衡分布（占据数）：

\[ G^<(E) = G^r(E) [\Sigma_L^<(E) + \Sigma_R^<(E)] G^a(E) \]

其中 \(G^a = [G^r]^\dagger\) 是超前格林函数。电极的“小于自能” \(\Sigma_{L/R}^<\) 由电极的费米函数决定：

\[\Sigma_{L/R}^<(E) = i \cdot \Gamma_{L/R}(E) \cdot f(E - \mu_{L/R}) \]

这里 \(\Gamma_{L/R} = i(\Sigma_{L/R} - \Sigma_{L/R}^\dagger)\) 是线宽函数，描述耦合强度. \(f\) 是费米-狄拉克分布函数, \(\mu_{L/R}\) 是左右电极的化学势（由偏压 \(V_{ds}\) 决定，\(\mu_L - \mu_R = qV_{ds}\)).

• 提取电荷密度 \(\rho(r)\)（或电子浓度 \(n(r)\)）
  这是NEGF提供给Poisson方程的源项。通过对 \(G^<(E)\) 的能量积分和求迹得到：

\[ n(r_i) = -\frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} G^<_{ii}(E) \, dE \\ \rho(r_i) = -q \cdot n(r_i) \quad \text{(电子电荷为负)} \]

公式中 \(G^<_{ii}(E)\) 是 \(G^<(E)\) 矩阵在第 \(i\) 个空间位置（对应哈密顿量基）上的对角元。此积分囊括了所有能量上、来自左右电极的所有电子的量子分布。

3. Poisson方程

将NEGF计算得到的量子电荷密度 \(\rho(r)\) 代入泊松方程：

\[\nabla \cdot [\epsilon(r) \nabla \phi(r)] = -\rho(r) - \rho_{dop}(r) \]

这里 \(ρ_{dop}(r)=q(N_D^+-N_A^-)\) 是固定的掺杂电荷（施主为正，受主为负）。

4. Poisson & NEGF自洽场循环流程

第一步：初始化
以器件结构、掺杂分布和外部偏压（\(V_g, V_{ds}\)）为输入。计算初始静电势\(\phi^{(0)}\)，通常通过求解无电荷的拉普拉斯方程获得（即设 \(\rho=0\)，仅由边界电压决定势场）。

第二步：自洽迭代循环（第 \(k\) 次迭代）

• 更新哈密顿量：
  将当前静电势 \(\phi^{(k)}\) 作为势能项，加入器件哈密顿量：

\[ H^{(k)} = H_0 - q \cdot \text{diag}(\phi^{(k)}) \]

• NEGF 计算（核心）：
  • 输入：\(H^{(k)}\)，电极自能 \(\Sigma_{L/R}(E)\)（由电极性质和偏压决定）。
  • 过程：
    a) 计算推迟格林函数：\(G^r(E) = [EI - H^{(k)} - \Sigma_L(E) - \Sigma_R(E)]^{-1}\)
    b) 计算小于格林函数：
    \(G^<(E) = G^r(E) [\Sigma_L^<(E) + \Sigma_R^<(E)] G^a(E)\)
  • 输出：电荷密度。通过对 \(G^<(E)\) 的对角元（对应空间位置）进行能量积分获得：

\[ n_i^{(k)} = -\frac{i}{2\pi} \int G^<_{ii}(E) dE \\ \rho_i^{(k)} = -q n_i^{(k)} \]

• 求解泊松方程：
  将电荷密度 \(\rho^{(k)}\) 与固定的掺杂电荷密度 \(\rho_{dop}\) 作为源项，求解更新后的经典静电势 \(\phi_{\text{new}}\)：

\[ \nabla \cdot (\epsilon \nabla \phi_{\text{new}}) = -\rho^{(k)} -\rho_{dop} \]

离散后，方程组变为一个标准的线性系统：

\[\mathbf{J} \vec{\phi} = \vec{b} \]

其中, \(\mathbf{J}\) 是由离散的 \(\nabla \cdot [\epsilon(\mathbf{r}) \nabla]\) 算子构成的刚度矩阵 (或称系数矩阵). \(\vec{b}\) 是负的电荷密度向量 \(-\vec{\rho}\) 与边界条件贡献的组合。

在线性情况下，牛顿法公式 \(\mathbf{J}^{(k)} \delta\vec{\phi}^{\,(k)} = -\vec{F}^{(k)}\) 中的雅可比矩阵 \(\mathbf{J}^{(k)}\) 是常数，与 \(k\) 无关，即\(\mathbf{J}^{(k)} \equiv \mathbf{J}\)。同时，残差 \(\vec{F}^{(k)} = \mathbf{J} \vec{\phi}^{\,(k)} - \vec{b}\). 牛顿更新公式变为：\(\mathbf{J} (\vec{\phi}^{\,(k+1)} - \vec{\phi}^{\,(k)}) = -(\mathbf{J} \vec{\phi}^{\,(k)} - \vec{b})\). 化简后得到: \(\mathbf{J} \vec{\phi}^{\,(k+1)} = \vec{b}\).

• 势更新：
  为防止振荡，采用松弛混合更新势场：

\[ \phi^{(k+1)} = \lambda \phi_{\text{new}} + (1-\lambda) \phi^{(k)} \]

其中 \(\lambda\) 是混合参数（通常 0.01 < \(\lambda\) < 0.3）。

第三步：收敛判断
检查迭代是否收敛，常用判据是静电势变化的范数：

\[\max |\phi^{(k+1)} - \phi^{(k)}| < \text{Tolerance} \]

若未收敛，则令 \(k \leftarrow k+1\), 返回第二步. 若已收敛，则跳出循环，利用最终自洽的 \(G^r\) 和 \(G^<\) 计算电流等输运性质。

为何没有“准费米势”?

在经典的漂移-扩散模型中, 准费米势 \(\phi_n, \phi_p\) 是一个数学构造，用于在整个空间分别表征电子和空穴的局域平衡程度。它是一个慢变的宏观场，其梯度驱动扩散电流, 其物理基础是玻尔兹曼统计或费米-狄拉克统计的局域平衡近似，即假设载流子在与晶格达到局域热平衡的同时，通过与散射过程达到平衡，从而可以用一个局域费米能级描述。

在量子NEGF框架中不需要此概念. 系统的非平衡态由 \(G^<(E)\) 完全且精确地 描述。\(G^<(E)\)是一个关于空间和能量的函数，直接给出了在能量 \(E\) 和位置 \(r\) 处找到电子的量子力学概率. 电子分布不再由单一的、空间缓变的局域费米能级决定，而是由来自左右电极、具有不同费米分布（\(\mu_L, \mu_R\)）的量子态相干叠加决定。这直接刻画了非平衡、相干的量子输运. 或者说电极的化学势 \(\mu_L\) 和 \(\mu_R\) 是整个系统的“源”和“漏”的费米能级，但器件内部没有统一的准费米能级。