半导体器件建模仿真-Schrodinger-Poisson耦合

在传统漂移-扩散或流体力学模型中，载流子浓度由经典的玻尔兹曼统计或费米-狄拉克统计直接给出。然而，当器件的特征尺寸与载流子的德布罗意波长可比拟时，载流子的波动性（量子效应）变得显著。此时，载流子被限制在势阱中，形成离散的能级（子带），其分布必须通过求解薛定谔方程获得。

薛定谔方程需要知道静电势 V(x) 以确定势能剖面；而静电势又通过泊松方程依赖于载流子浓度 n(x)。两者相互耦合，必须通过自洽迭代求解。

Poisson 方程

泊松方程描述了静电势与空间电荷密度之间的关系。

\[\nabla \cdot [\epsilon(\vec{r}) \nabla V(\vec{r})] = -q [p(\vec{r}) - n(\vec{r}) + N_D^+(\vec{r}) - N_A^-(\vec{r})] \]

在一维情况下（例如垂直方向），可简化为：

\[\frac{d}{dx}[\epsilon(x) \frac{dV(x)}{dx}] = -q [p(x) - n(x) + N_D^+(x) - N_A^-(x)] \]

Schrödinger方程（有效质量近似）

在导带底附近，通常采用有效质量近似来描述电子状态。考虑一维量子限制（如x方向），在有效质量近似下的本征值方程为：

\[\left[ -\frac{\hbar^2}{2} \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{m^*(x)} \frac{d}{dx} \right) + V_{eff}(x) \right] \psi_i(x) = E_i \psi_i(x) \]

其中, \(\hbar\) 是约化普朗克常数。$ m^*(x)$ 是位置相关的有效质量（考虑不同材料）。\(\psi_i(x)\) 和 \(E_i\) 是第 \(i\) 个束缚态的波函数和本征能级。\(V_{eff}(x)\) 是电子的有效势能。

量子载流子浓度

电子浓度 \(n(x)\) 不再由经典的 \(N_c F_{1/2}(\cdots)\) 给出，而是由所有占据态的概率密度加权求和得到：

\[n_{QM}(x) = \sum_i N_i |\psi_i(x)|^2 \]

其中，对第 \(i\) 个子带的面密度 $ N_i$ 由费米-狄拉克分布决定：

\[N_i = g_v \frac{m_d^* k_B T}{\pi \hbar^2} \ln\left[1 + \exp\left( \frac{E_F - E_i}{k_B T} \right) \right] \]

或者更一般地（对于2D平面情况）：

\[N_i = \int D_{2d}(E) f(E, E_F) dE \quad \text{(对第i个子带贡献的积分)} \]

在实际的一维量子限制仿真中，\(N_i\) 通常正比于 \(\ln(1+\exp((E_F-E_i)/k_B T))\)。

势能

薛定谔方程中的有效势能 \(V_{eff}(x)\)通常包括：静电势能：\(-qV(x)\)（电子带负电，电势越低对电子势能越低), 导带边偏移 \(\Delta E_c(x)\) (异质结界面处).因此：

\[V_{eff}(x) = -qV(x) + \Delta E_c(x) + \cdots \]

自洽迭代流程

1. 初始猜测：

• 给定一个初始的静电势分布 ( V^{(0)}(x) )。通常可以从经典解（解耦泊松方程，忽略量子效应）或简单的线性势开始。

2. 进入迭代循环 \((k = 0, 1, 2, ...)\)：

• 步骤 A: 求解薛定谔方程

  • 利用当前的势 \(V^{(k)}(x)\) 构造 \(V_{eff}^{(k)}(x)\)。
  • 在给定的计算区域和边界条件下（通常波函数在边界衰减为0），求解薛定谔本征值问题。
  • 得到一组本征能级 \(E_i^{(k)}\) 和对应的波函数\(\psi_i^{(k)}(x)\)（通常只取前若干个束缚态）。

• 步骤 B: 计算量子载流子浓度

  • 给定费米能级\(E_F\) （由器件边界条件或总体电荷中性决定）。
  • 利用公式计算量子载流子浓度 \(n_{QM}^{(k)}(x) = \sum_i N_i^{(k)} |\psi_i^{(k)}(x)|^2\)。

• 步骤 C: 求解泊松方程

  • 将计算得到的 \(n_{QM}^{(k)}(x)\) 作为电子浓度源项，代入泊松方程。
  • 求解泊松方程，得到一个新的静电势分布 \(V_{new}(x)\)。

• 步骤 D: 检查收敛性与更新势

  • 收敛判断：计算前后两次迭代势能的最大绝对误差或均方根误差：$\max |V_{new}(x) - V^{(k)}(x)| < \delta $$(\delta$ 为预设容差，如 \(10^{-4} \text{ V}\)）。若满足，则跳出循环，得到自洽解。
  • 势的更新：若不收敛，需要将新解与旧解混合，以稳定迭代过程：

\[V^{(k+1)}(x) = \beta \cdot V_{new}(x) + (1-\beta) \cdot V^{(k)}(x) \]

其中, \(\beta\) ( \(0 < \beta \leq 1\) ) 是一个阻尼因子。对于强量子限制问题，\(\beta\) 可能需要取得较小（如0.1-0.3）来抑制振荡，促进收敛。
* 令 \(k = k+1\)，返回步骤 A。

3. 输出结果：
   • 迭代收敛后，最终的自洽解包括：静电势 \(V(x)\)、量子载流子浓度 \(n_{QM}(x)\)、子带能级 \(E_i\) 和波函数 \(\psi_i(x)\)。