半导体器件建模仿真-Density-Gradient修正

研究背景

当器件尺寸缩小到纳米尺度（例如，现代MOSFET的沟道厚度、FinFET的鳍片宽度），载流子被限制在非常狭窄的区域内运动，其波动性（量子力学特性）变得显著，主要表现为：

• 量子限制效应：载流子能量状态发生量子化，形成子带。
• 载流子分布峰值偏离界面：经典模型预测载流子浓度在半导体-绝缘体界面处最大，但实际上由于波函数的衰减和量子排斥，峰值会离开界面几个埃的距离。
• 隧穿效应：栅极直接隧穿电流等。

密度梯度方程

该方程将量子势 \(\Lambda_n\) 与载流子浓度 \(n\) (或 \(p\)) 的梯度联系起来。

\[\Lambda_n = -\frac{\hbar^2}{6 q m_n^*} \left[ \frac{\nabla^2 n}{n} - \frac{1}{2} \left( \frac{\nabla n}{n} \right)^2 \right] \\ \Lambda_p = -\frac{\hbar^2}{6 q m_p^*} \left[ \frac{\nabla^2 p}{p} - \frac{1}{2} \left( \frac{\nabla p}{p} \right)^2 \right] \]

其中 \(\Lambda_n\), \(\Lambda_p\) 是电子和空穴的量子势。\(m_n^*, m_p^*\) 分别是电子和空穴在量子限制方向的有效质量。

载流子浓度方程进行修正，表示为：

\[n = n_i \exp\left(\frac{q(\phi + \Lambda_n - \phi_n)}{k_B T}\right) \\ p = n_i \exp\left(\frac{q(\phi_p - \phi + \Lambda_p)}{k_B T}\right) \]

带有量子修正的载流子连续性方程

电子电流密度方程:

\[\mathbf{J}_n = q \mu_n n \nabla (\phi + \Lambda_n) + q D_n \nabla n \]

空穴电流密度方程:

\[\mathbf{J}_p = -q \mu_p p \nabla (\phi - \Lambda_p) - q D_p \nabla p \]

稳态连续性方程:

\[\nabla \cdot \mathbf{J}_n = q R, \quad \nabla \cdot \mathbf{J}_p = -q R \]

耦合求解流程

其本质是一个非线性方程组的迭代求解问题，目标是找到静电势 \(\phi\)、电子浓度 \(n\)、空穴浓度 \(p\) 以及量子势 \(\Lambda_n\) 和 \(\Lambda_p\) 的自洽解。

完整的DG模型需要求解三个耦合方程：

1. 外层迭代：泊松方程 + 密度梯度方程
2. 内层迭代：连续性方程

第1步：初始化

• 给定初始猜测值：通常使用热平衡条件或一个简化的经典解来初始化 \(\phi\), \(n\), \(p\). \(\Lambda_n\) 和 \(\Lambda_p\) 初始化为零。

第2步：密度梯度方程求解 (内层迭代)

• 固定当前迭代步的 \(\phi\), \(n\), \(p\)。求解密度梯度方程，得到更新的量子势 \(\Lambda_n^{new}\) 和 \(\Lambda_p^{new}\)。

第3步：Poisson方程求解

• 将更新后的量子势 \(\Lambda_n\), \(\Lambda_p\) 代入载流子浓度的表达式。在DD框架下，载流子浓度可表示为：

\[n = n_i \exp\left(\frac{q(\phi + \Lambda_n - \phi_n)}{k_B T}\right) \\ p = n_i \exp\left(\frac{q(\phi_p - \phi + \Lambda_p)}{k_B T}\right) \]

• 在首次Gummel迭代中，通常先忽略量子修正，求解一次经典的泊松-载流子统计方程组，以获得一个合理的初始解。
• 在后续迭代中，将上述 \(n\) 和 \(p\) 的表达式代入Poisson方程。此时POisson方程变为一个以 \(\phi\) 为唯一未知量的高度非线性方程，但其源项包含了 \(exp(\phi+\Lambda)\) 项。
• 得到更新的静电势 \(\phi^{new}\)。这一步通常使用牛顿迭代法来高效处理非线性。

第4步：电流连续性方程求解

• 固定更新后的 \(\phi^{new}\), \(\Lambda_n^{new}\), \(\Lambda_p^{new}\)。
• 求解一个关于准费米势 \(\phi_n\) 和 \(\phi_p\) 的耦合输运方程组。得到更新的 \(\phi_n^{new}\), \(\phi_p^{new}\)。
• 利用 \(\phi^{new}\), \(\phi_n^{new}\), \(\Lambda_n^{new}\) 等，通过载流子统计公式重新计算得到更新的载流子浓度 \(n^{new}\), \(p^{new}\)。

第5步：收敛性检查

• 计算前后两次迭代中所有关键变量 (\(\phi\), \(n\), \(p\), \(\phi_n\), \(\phi_p\), \(\Lambda_n\), \(\Lambda_p\)) 的变化范数（如最大相对误差或L2范数）。
• 如果所有变量的变化都小于预设的收敛容差（例如1e-5），则认为达到了自洽解，迭代结束。否则，将更新后的所有变量作为下一次迭代的输入，返回第2步。