[笔记] 小球盒子问题总结

小球盒子问题总结

1.球相同 盒子相同 允许空

设\(f[n][m]\)为\(n\)个球，\(m\)个盒子，允许空的方案数

转移时考虑最后一个盒

\[f[n][m]=f[n-m][m]+f[n-1][m-1] (n\geq m) \]

\[f[n][m]=f[n][n](n\leq m) \]

边界\(f[*][1]=f[0][*]=1\)

2.球相同 盒子相同 不允许空

答案即为(1.)中\(f[n-m][m]\)

3.球相同 盒子不同 不允许空

喜神的挡板法 ，考虑在\(n\)个小球中插入\(m-1\)个板的方案数，即为

\[\binom{n-1}{m-1} \]

4.球相同 盒子不同 允许空

在(3.)的前提下，先多插入\(m\)个球，即为

\[\binom{n+m-1}{m-1} \]

5.球不同 盒子相同 不允许空

方案即为第二列斯特林数，考虑最后一个球可以放入\(m\)个盒子内，则有

\[S_2[n][m]=S_2[n-1][m-1]+m\times S_2[n-1][m] \]

6.球不同 盒子相同 允许空

可以放入\(i (i\leq m)\)个盒子，方案即为第二类斯特林数的前缀和

\[\sum_{i=1}^mS_2[n][i] \]

也叫贝尔数，这也就是\(n\)个数的集合划分方案数

7.球不同 盒子不同 不允许空

\(S_2[n][m]\)考虑的是盒子相同的情况，每个情况中盒子种类的排列有\(m!\)种，所以

\[m!\times S_2[n][m] \]

8.球不同 盒子不同 允许空

每个球都有\(m\)个盒子可以放，球之间互相独立，所以

\[m^n \]