数论-哈哈哈好快乐

数学

[NOI2018] 冒泡排序

问题转化，反证法可以得到，合法排列的充要条件是不存在编号递增的三个数，满足 \(a>b>c\) 。

对于合法排列，从左往右讨论每个位置，如果大于前缀 \(max\) ，就放到 \(A\) 序列，否则放到 \(B\) ，则 \(A,B\) 都是上升序列。

\(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 个位置放完，最大的数是 \(p\) ，没有放的数中 \(<p\) 的有 \(j\) 个的方案数。

\(i+1\) 位置放没有放的最小的数， \(f(i,j)\rightarrow f(i+1,j-1)\) 。

\(i+1\) 位置放没有放的，比 \(p\) 大的数中，第 \(k\) 小的数， \(f(i,j)\rightarrow f(i+1,j+k-1)\) 。

有一些限制，比如 \(i+j \le n\) 。

如果没有字典序限制，考虑从 \((0,0)\) 到 \((n,0)\) ，每次 \(x+1\) ， \(y+k,k\ge -1\) ，方案数就是 \(f(n,0)\) 。

用括号序列一一对应这个过程， \(f(n,0)=(^{2n}_{n})-(^{2n}_{n+1})\) 。

考虑字典序的限制，类似数位 DP ，讨论前 \(i-1\) 位放和题目给出的排列相同的数，第 \(i\) 位比其大 \(1\) ，之后随意填数的方案数，加起来就是答案。

这时候其实是从 \((x,y)\) 到 \((n,0)\) ，在括号序列上的意义就是，已经有 \(t\) 个左括号在左边固定了，还有 \(m\) 个右括号以及 \(m-t\) 个左括号要填。

方案数 \((^{2m-t}_{m})-(^{2m-t}_{m+1})\) 。推导方式类似上面 \(f(n,0)\) 那个式子。

\(f(n,0)\) 就是 Catalan 数，表示成两个组合数的差，考虑随意填，再减去非法方案数。

非法方案的理解方式我知道的有两种。

一种是把起点从 \((0,0)\) 改为 \((0,-2)\) ，再把一部分路径沿 \(y=-1\) 对称。

还有一种是在第一次出现非法，即 \([]] \cdots\) 的情况时，交换左右括号，得到 \(][[ \cdots\) ，这样 \([\) 的数量 \(+1\) 。

题外话，如果把 DP 状态改为 \(>p\) 的数，会得到一个可以用后缀和优化的方程，再搞和式。而如果把第二维 \(j\) 反过来，就是说变成 \(n-i\) ，似乎前缀和 \(g\) 可以推得 \(g(0,0)=1,g(i,j)=g(i-1,j)+g(i,j-1)=(^{i+j-1}_{j-1})\) （加一减一我可能记错了），然后再怎么怎么搞……

这题网上做法特别多，题解都写得极其抽象，太……妙……了。

[LOJ 6363] 地底蔷薇

首先，吃一发 [BZOJ 3456] 城市规划 ， \(n\) 个有编号点的无向连通简单图数量。

吃饱了，再见。

苹果树

一篇好题解

先求 \(n\) 个 \(\ge 0\) 的点，点权和 \(\le lim\) 的方案数。

枚举点数 \(k\) ，再枚举 \(k=a+b\) ，分成两半，分别暴力统计点数和对应的权值，有 \(2^20\) 个。

然后用 meet-in-the-middle 线性合并得到 \(k\) 的方案数。

好点，坏点，有贡献的点，连边，矩阵树定理。

此时有贡献的点并不一定有贡献，需要容斥。

\(f(n)\) 表示恰好 \(n\) 个有贡献的点方案数，是要求的。 \(g(n)\) 是矩阵树定理求出来的 \(\le n\) 个有贡献的方案数。

\[f(n)=g(n)-\sum_{i=0}^{n-1}(^n_i)f(i) \]

总结起来，枚举好点数 \(k\) ，矩阵树定理算 \(g\) ，计算 \(f\) ，加到答案里。