扩展欧几里得

1. 扩展欧几里得
用于求解方程 ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b) 的解

当 b=0b=0 时 ax+by=aax+by=a 故而 x=1,y=0x=1,y=0
当 b≠0b≠0 时

因为
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
而
bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)
bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)
bx′+(a−⌊a/b⌋∗b)y′=gcd(b,a%b)
bx′+(a−⌊a/b⌋∗b)y′=gcd(b,a%b)
ay′+b(x′−⌊a/b⌋∗y′)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)
ay′+b(x′−⌊a/b⌋∗y′)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)
故而

x=y′,y=x′−⌊a/b⌋∗y′
x=y′,y=x′−⌊a/b⌋∗y′
因此可以采取递归算法 先求出下一层的x′x′和y′y′ 再利用上述公式回代即可

2. 对于更一般的方程 ax+by=cax+by=c
设 d=gcd(a,b)d=gcd(a,b) 则其有解当且仅当 d|cd|c
求解方法如下:

用扩展欧几里得求出 ax0+by0=dax0+by0=d 的解

则a(x0∗c/d)+b(y0∗c/d)=ca(x0∗c/d)+b(y0∗c/d)=c
故而特解为 x′=x0∗c/d,y′=y0∗c/dx′=x0∗c/d,y′=y0∗c/d
而通解 = 特解 + 齐次解

而齐次解即为方程 ax+by=0ax+by=0的解

故而通解为 x=x′+k∗b/d,x=y′−k∗a/dk∈z

求 x最小正整数解  (x%(b/d)+b/d)%( b/d)  

作者：ZeroAC
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