CF1717E Madoka and The Best University

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简化题意

求 \(\sum \operatorname{lcm}(c,\gcd(a,b)) \thinspace (a + b + c = n \thinspace , a,b,c \in Z^+)\)。

做法

由于我们只要知道其中两个数的值就能确定第三个数，所以只需要枚举两个数即可，这里考虑枚举 \(c\) 和 \(a\)。设答案为 \(ans\)，则：

\[ans = \sum\limits_{c=1}^{n-2} \sum\limits_{a=1}^{n-c-1} \operatorname{lcm}(a,\gcd(a,n - a - c)) \]

由辗转相减法，可得 \(\gcd(a,n - c) = \gcd(a, n - a - c)\)，所以：

\[ans = \sum\limits_{c=1}^{n-2} \sum\limits_{a=1}^{n-c-1} \operatorname{lcm}(a,\gcd(a,n-c)) \]

直接去算不太好优化。发现 \(\gcd(a,n-c) \mid (n-c)\)，所以可以考虑直接枚举 \(\gcd(a,n-c) = d\)，而 \(a < n-c\)，则 \(\gcd(a,n-c)\) 一定不会等于 \(n-c\)。所以：

\[\begin{aligned} ans &= \sum\limits_{c=1}^{n-2} \sum\limits_{d \mid (n - c)}^{d \neq n - c} \operatorname{lcm}(a,d) \sum\limits_{a=1}^{n-c-1} [\gcd(a,n-c) = d] \\ &= \sum\limits_{c=1}^{n-2} \sum\limits_{d \mid (n - c)}^{d \neq n - c} \operatorname{lcm}(a,d) \sum\limits_{a=1}^{n-c-1} [d \mid a, \gcd(\frac{a}{d},\frac{n-c}{d}) = 1] \\ &= \sum\limits_{c=1}^{n-2} \sum\limits_{d \mid (n-c)}^{d \neq n - c} \operatorname{lcm}(a,d) \times \varphi(\frac{n-c}{d}) \end{aligned} \]

先线性筛出 \(n\) 以内的数的欧拉函数值。这样直接算，枚举次数为：

\[\sum\limits_{i=1}^{n-2} d(n-i) = \sum\limits_{i=2}^{n-1} d(i) < \sum\limits_{i=1}^{n} d(i) \approx n \ln n \]

所以时间复杂度为 \(O(n \ln n)\)，还要带一点算 \(\operatorname{lcm}\) 的常数，不过这无关紧要。