冯梓轩数据结构总结

数据结构学习总结

前言

原先我以为，只要是纯数据结构学好了，那数据结构题就能很简单就做出来了。

后来才发现，这句话在十年前也许是对的，但现在完全错了，因为 现在是算法和思维主导的时代，数据结构在大部分情况下只是用来辅助快速求解的工具，已经不会再出纯数据结构的偏、难、怪题了。一些题既然你想不出来，不会做，那还提什么数据结构优化呢？ 所以说，思维也是非常重要的，用老师的话说就是：“别把技能点点偏了”。

并查集

并查集可以方便的处理一些与合并相关的问题，如区间信息合并、树上合并等，而且代码小巧，非常好用，如果只用路径压缩，时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，加上按秩合并，时间复杂度可以优化为 \(O(n \alpha(n))\)，但是实际上没有什么太大的区别，而且在对合并有顺序要求时不能按秩合并。

并查集一般与其他知识点结合，虽然大部分情况下比较难想一些，但是代码好写，且时间复杂度一般会相对优秀些。

例题

恢复

正着做比较麻烦，考虑倒着做，从所有点都已恢复的状态逆推回所有点都未恢复的状态。如果没有树形的限制，那就是一道很简单的贪心，这里不再赘述。现在考虑有先后顺序的限制，有一个结论是：如果恢复了一个点，那么下个恢复的点要尽量是它的儿子，这样做一定不劣。反过来操作就是：如果把一个点从恢复变为未恢复后，一定先计算它和它的父亲之间产生的贡献。计算之后，为了方便计算，可以把它所在的并查集和它父亲所在的并查集进行合并，新的点的权值就是两个小并查集的权值和。由于要动态维护全局最大值，所以考虑使用大根堆进行维护，每次合并后，都将其再次放入堆中。

单调队列优化 DP

对于一种 DP：\(f_i = \max\limits_{j=l}^{r} f_j + w(j,i)\) 或 \(f_i = \min\limits_{j=l}^{r} f_j + w(j,i)\)，其中 \(r-l+1\) 为一定值，可以考虑维护一个滑动窗口，在线性时间内求得所有 DP 值。

例题

【SCOI 2010 DAY1】股票交易

肯定要把天数放入状态中。由于计算钱数需要手中持有的股数，所以考虑将其加入状态中。

设 \(f_{i,j}\) 表示经过了前 \(i\) 天后，手上持有 \(j\) 股的最大利润。

方程显然为：

\[f_{i,j} = \max \left \{ \begin{aligned} &f_{i-1,j} \thinspace \texttt{（第} \space i \space \texttt{天什么也不干）} \\ &f_{i-w-1,k}-(j-k) \times ap_{i-w-1} \thinspace (j-k \leq as_{i-w-1}) \thinspace \texttt{（在第} \space i-w+1 \space \texttt{天买入} \space j-k \space \texttt{股）} \\ &f_{i-w-1,k}+(k-j) \times bp_{i-w-1} \thinspace (k-j \leq bs_{i-w-1}) \thinspace \texttt{（在第} \space i-w+1 \space \texttt{天卖出} \space k-j \space \texttt{股）} \end{aligned} \right. \]

第一个方程显然可以 \(O(1)\) 转移。对于第 \(2\) 个方程，如果暴力转移，求出一个 $f_{i,j} $需要 \(O(n)\)，无法接受。观察到方程中的转移是一段定长区间，且 \(j\) 和 \(k\) 互不干涉，可以考虑用单调队列优化，在 \(O(n)\) 的时间内求出所有 \(f_i\) 的值。

线段树

对于一些比较复杂的区间操作问题，可以使用线段树来优化时间复杂度，还可以用来优化 DP 等算法。

例题

【NOI2016】区间

如果对右端点进行排序的话，无法很好的维护区间长度信息，所以考虑换种方式，按照区间长度进行升序排序。

观察到一个单调性：被覆盖次数最多的点的被覆盖次数随着线段的增多单调不降，可以考虑用双指针维护，钦定一个左端点，一直向右加入线段，直到最大覆盖次数等于 \(m\)，这样答案就可以 \(O(1)\) 算出。对于加入线段，发现是单点加，区间取 \(\max\)，可以使用线段树快速维护。

[SDOI2009] 虔诚的墓主人

对于一个点 \(i\)，它对答案的贡献为：\(\tbinom{up_i}{k} \times \tbinom{down_i}{k} \times \tbinom{left_i}{k} \times \tbinom{right_i}{k}\)，其中 \(up_i,down_i,left_i,right_i\) 分别表示点 \(i\) 上面、下面、左边、右边的点的数量。对于这种问题，我们通常可以用线段树来维护。设当前扫到的横坐标为 \(x\)，对于两个横坐标为 \(x\) 的点 \(p,q\)，它们中间夹的点一定是空白点，而这些点的 \(up\) 和 \(down\) 值都可以边做边推，所以只需要求出 \(\sum\limits_{i=y_p+1}^{y_q-1} \tbinom{left_{x,i}}{k} \times \tbinom{right_{x,i}}{k}\) 即可，而这与线段树扫描线类似，考虑用线段树维护，每次加入一个点都重新计算对应 \(y\) 坐标的值，然后区间求和。

【ZJOI2010 Day1】基站选址

显然是 DP。设 \(f_{i,j}\) 表示建了 \(j\) 个基站，其中最后一个基站建在了点 \(i\)，且前 \(i\) 个位置被全部覆盖的最小费用，方程为：

\[f_{i,j} = \min\limits_{k=1}^{i-1} f_{k,j-1} + pay(k,i) + c_i \]

这里的 \(w(k,i)\) 表示区间 \([k,i]\) 中没有被覆盖的点所需的赔偿费用。

可以发现，第 \(2\) 维状态没什么用，只需先枚举基站，再枚举位置，就可消掉，方程变为：

\[f_{i} = \min\limits_{k=1}^{i-1} pre_{k} + pay(k,i) + c_i \]

假设点 \(i\) 只要在点 \([l_i,r_i]\) 任意放置了一个基站就能被覆盖。如果在区间 \([l_i,r_i]\) 中放置了一个基站，就不会要求补偿，但是如果被转移的点 \(j > r_i\)，那么在使用 \([1,l_i)\) 转移时就不能覆盖到 \(i\)，所以要将 \(pre_j\thinspace(j \in [1,l_i))\) 都加上 \(w_i\)。但是这样做的时间复杂度是 \(O(n^2m)\) 的，发现我们需要区间询问一个最小值，然后修改时单点修改，这可以使用线段树进行维护，时间复杂度优化为 \(O(nm \log n)\)。最后对于要把所有点都覆盖，可以设置一个虚点，其 \(D_i\) 为无限大，\(C_i\) 为 \(0\)，\(S_i\) 为 \(0\)，\(W_i\) 为无限大。

小结

对于很多题目，暴力做或者用其他方法维护的话可能难以维护或时间复杂度爆表，这时候可以使用数据结构优化维护，特别像 DP 一样，通常可以使用数据结构加速转移。但是要适当使用数据结构，谨记一句话：“不要迷信数据结构”。