欧拉反演

欧拉反演

定理：

\[n = \sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) \]

证明

显然对于一个 \(i ~ (1 \leq i \leq n)\)，\(i\) 与 \(n\) 的 \(\gcd\) 都是唯一的。

由此可得：

\[n = \sum\limits_{d \mid n} \sum\limits_{i=1}^{n} ~ [\gcd(i,n) = d] \]

此公式相当于枚举 \(\gcd\)。由于 \(i\) 与 \(n\) 的 \(\gcd\) 唯一，所以统计时只会贡献一次。

将公式变形，得：

\[n = \sum\limits_{d \mid n} \sum\limits_{i=1}^{n} ~ [d \mid i,~\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1] \]

发现内层循环就是求在 \(\frac{n}{d}\) 范围内与 \(\frac{n}{d}\) 互质的数的个数，即为 \(\varphi(\frac{n}{d})\)。

再次将公式变形，得：

\[n = \sum\limits_{d \mid n} \varphi(\frac{n}{d}) \]

由于 \(d \mid n\)，所以 \(d\) 与 \(\frac{n}{d}\) 的值一一对应。

所以进行最后的变形，得：

\[n = \sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) \]

证毕。

应用

给定一个 \(n \thinspace(1 \leq n \leq 10^{12})\)，求 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \gcd(i,n)\)。

推导

设答案为 \(ans\)。

对 \(\gcd(i,n)\) 进行欧拉反演，得：

\[ans = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{d \mid \gcd(i,n)} \varphi(d) \]

观察到：若 \(d \mid \gcd(i,n)\)，则符合条件的 \(d\) 要满足的充要条件是 \(d \mid i,d \mid n\)。

根据上述性质，改写得：

\[ans = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{d \mid i,d \mid n} \varphi(d) \]

将内层循环移至外层，得：

\[ans = \sum\limits_{d \mid n} \sum\limits_{i=1}^{n} \varphi(d) \thinspace [d \mid i] \]

将 \(\varphi(d)\) 移至外层循环，得:

\[ans = \sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{n} \thinspace [d \mid i] \]

发现在 \(n\) 以内，\(d \mid i\) 的个数就是 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)。

最终改写得：

\[ans = \sum\limits_{d \mid n} \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \thinspace \varphi(d) \]

时间复杂度

对 \(n \thinspace (1 \leq n \leq 10^{12})\) 进行质因数分解：

\[n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} \]

当 \(n\) 的因数个数最多时，\(r_1 = r_2 = \cdots = r_k = 1\)。

在 \(10^{12}\) 范围内，满足条件的最大数是：

\[200560490130 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \]

此时因数个数为 \(2^{11}=2048\)，不算很多，时间复杂度足以通过本题。