巴塞尔问题的欧拉之解

前言

欧拉年少成名，这是巴塞尔问题欧拉的解法

问题描述

求\(\large \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\)的值

大致证明

根据 $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}x=1 $$以及 \(\sin x\) 的根为 $k\pi,k\in \mathbb{Z} $得到

\[\begin{align} \frac{\sin x}x&=\Big(1-\frac{x}{\pi}\Big)\Big(1+\frac{x}{\pi}\Big)\Big(1-\frac{x}{2\pi}\Big)\Big(1+\frac{x}{2\pi}\Big)\cdots\\ &=\Big(1-\frac{x^2}{\pi^2}\Big)\Big(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\Big)\Big(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\Big)\cdots\tag1 \end{align}\\ \]

根据 \(\sin x\)的泰勒展开式

\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\\ \]

两边同时除以 \(x\) 得到

\[\frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots\\\tag2 \]

比较(1)式与(2)式中 \(x^2\) 的系数得到

\[-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{4\pi^2}-\frac{1}{9\pi^2}-\cdots\\ \]

即

\[\frac1{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\\ \]

The End

此blog并没有将欧拉的严谨证明搬到此处