关于IMO1988年的第六道经典题目的解析

前言

本人的数学水平很差，只是看书的时候看到了，于是想尽了办法想弄懂这道题怎么做，最终弄懂了，有此进行一个记录。

正文

题目

\(给定a,b两个正整数满足ab+1|a^2+b^2.求证:\)

\[\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k \]

是一个完全平方数

知识点分析

这道题用到了韦达定理和反证法以及一些小学奥数的数论
还有一个是证明是否为最小值的方法，叫做无穷降幂法，一般用反证法进行

无穷降幂法

一般可以用于证明一个丢番图方程\(f(x_1,...,x_k)=0\)没有解或者有且仅有平凡解(就是那种看一眼就能想到的解)。主要的思想就是，看到一个方程假设有最小解，则推出一些内容，然后通过看条件是否矛盾来判断是否有最小解
举一个例子，需要证明方程

\[x^2+y^2=3z^2 \]

只有平凡解。
首先要分成两个部分进行证明，第一个部分就是证明这个方程有平凡解，另一方面就是它只有平凡解
第一部分，看一眼方程就可以发现方程肯定是有一组解

\[ \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{matrix} \right. \]

第一部分非常简单就证完了。重点在证明只有平凡解。
假如有一组不平凡解\((x,y,z),\because 3|x^2+y^2,\)易发现\(3|x\)且\(3|y\)。假设\(x=3x_0,y=3y_0\),那么方程就变成了\(z^2=3(x_0^2+y_0^2)\)，从而容易发现\(z\)也是\(3\)的倍数，同样也令\(z=3z_0\),那么方程可以转化成\(x_0^2+y_0^2=3z_0^2\)，非常的眼熟——没错，就是原方程，因此\((x_0, y_0, z_0)\)也是方程\(x^2+y^2=3z^2\)的一组解，因为\((x,y,z)\)非平凡，所以\((x_0,y_0,z_0)\)也是非平凡的，但是呢，

\[|x_0|+|y_0|+|z_0|=\frac{|x|+|y|+|z|}{3}<|x|+|y|+|z| \]

因此解\((x_0, y_0, z_0)\)比\((x,y,z)\)的绝对值要小，显然这是不存在的
这道题就证完了

证明过程

准确来讲要分两种情况进行讨论，第一种情况石\(a=b\)的情况，第二种是两者不相等的情况。第一种情况其实非常的简单:\(\frac{2a^2}{a^2 + 1} = k\),就是一个平凡解,

\[ \left\{\begin{matrix} k = 1 \\ a = 0 \end{matrix} \right. \]

然后关于他只有一个这样的平凡解也是非常好证明的。
考虑第二种情况。现在如果想要构造一组正整数对\((a_0,b_0)\)满足\(a_0+b_0\)最小并且\(k\)不是完全平方数。假设\(a_0^2+b_0^2=c(a_0b_0+1)\)。由于这个式子具有对称性。不妨假设\(b_0\leq a_0\)，易发现\(k \geq 0\)那么可以推出来

\[a_0^2- k a_0 b_0 + b_0^2 - k = 0 \]

设\(a_0\)是方程

\[x^2-kxb_0+(b_0^2 - k) = 0 \]

的其中一个根，而此方程的另一根是\(a_1\)。
根据韦达定理，可以知

\[\left\{\begin{matrix} a_0 + a_1 = kb_0\\a_0a_1=b_0^2-k\end{matrix}\right. \]

上面的那个式子，因为 \(a_1=kb_0-a_0\) 可以得知 \(a_1 \in Z^+\),而由下面的那个式子可以得到 \(a_1=\frac{b_0^2-k}{a_0} \not=0\)

那么接下来就要证明 \(a_1 > 0\),这里使用反证法进行证明。

若 \(a_1 < 0\), 代入原式中得到了

\[a_1^2-ka_1b_0+(b_0^2-k) = 0 \]

即

\[a_1^2+b_0^2=k(1+a_1b_0) \]

\(\because a_1b_0 < -1 \therefore (1 + a_1b_0) < 0 \therefore k(1+a_1b_0)<0\)

即

\[a_1^0+b_0^2<0 \]

但是 $$\forall x\in R,x^2\geq 0 \therefore 矛盾$$
$\therefore a_1 > 0 $

接下来证存在一个整数对 \((a_1, b_0)\) 使得 \(a_1 + b_0\)更小，就可以证明\(a_0+b_0\)并不是最小的，从而推翻\(k\)不是完平的证明，从而得证。

\(a_1 = \frac{b_0^2-k}{a_0} \leq \frac{a_0^2-k}{a_0}\) (这一步是因为 \(a_0\geq b_0\),上文的假设 ) \(<\frac{a_0^2}{a_0}=a_0\)

那么推出了 \(a_0 > a_1\) 即 \(a_0 + b_0 > a_1 + b_0\)

因此\(a_0+b_0\)不是最小的，因此\(k\)不是完平的命题不成立，即\(k\)是完平。

证毕

我要说什么？

虽然这个套路是已经玩烂的，但我才疏学浅，只会这点，大佬不喜勿喷。