网络流ISAP算法的简单介绍(zz)

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 这几天由于种种原因经常接触到网络流的题目,这一类型的题给人的感觉,就是要非常使劲的YY才能出来点比较正常的模型。尤其是看了Amber最小割应用的文章,里面的题目思路真是充满了绵绵不绝的YD思想。然而比赛中,当你YD到了这一层后,您不得不花比较多的时间去纠结于大量细节的实现,而冗长的代码难免会使敲错版后的调试显得异常悲伤,因此一些巧妙简短高效的网络流算法在此时便显得犹为重要了。本文力求以最简短的描述,对比较流行的网络流算法作一定的总结,并借之向读者强烈推荐一种效率与编程复杂度相适应的算法。

  众所周知,在网络流的世界里,存在2类截然不同的求解思想,就是比较著名的预流推进与增广路,两者都需要反向边的小技巧。

  其中预流推进的算法思想是以边为单元进行推流操作。具体流程如下:置初始点邻接边满流并用一次反向bfs对每个结点计算反向距离标号,定义除汇点外存量大于出量的结点为活动结点,每次对活动结点按允许边(u->v:d[u]=d[v]+1)进行推流操作,直到无法推流或者该点存量为0,若u点此时仍为活动结点,则进行重标号,使之等于原图中进行推操作后的邻接结点的最小标号+1,并将u点入队。当队列为空时,算法结束,只有s点和t点存量非0,网络中各顶点无存量,无法找到增广路继续增广,则t点存量为最大流。

  而增广路的思想在于每次从源点搜索出一条前往汇点的增广路,并改变路上的边权,直到无法再进行增广,此时汇点的增广量即为最大流。两者最后的理论基础依然是增广路定理,而在理论复杂度上预流推进要显得比较优秀。其中的HLPP高标预流推进的理论复杂度已经达到了另人发指的O(sqrt(m)*n*n),但是其编程复杂度也是同样的令人发指- -

  于是我们能否在编程复杂度和算法复杂度上找到一个平衡呢,答案是肯定的。我们使用增广路的思想,而且必须进行优化。因为原始的增广路算法(例如EK)是非常悲剧的。于是有人注意到了预流推进中的标号法,在增广路算法中引入允许弧概念,每次反搜残留网络得到结点标号,在正向增广中利用递归进行连续增广,于是产生了基于分层图的Dinic算法。一些人更不满足于常规Dinic所带来的提升,进而加入了多路分流增广的概念,即对同一顶点的流量,分多路同时推进,再加上比较复杂的手工递归,使得Dinic已经满足大部分题目的需要。

  然而这样做就是增广路算法优化的极限么?答案永远是不。人们在Dinic中只类比了预流推进的标号技术,而重标号操作却没有发挥得淋漓尽致。于是人们在Dinic的基础上重新引入了重标号的概念,使得算法无须在每次增广后再进行BFS每个顶点进行距离标号,这种主动标号技术使得修正后算法的速度有了不少提高。但这点提高是不足称道的,人们又发现当某个标号的值没有对应的顶点后,即增广路被截断了,于是算法便可以提前结束,这种启发式的优化称为Gap优化。最后人们结合了连续增广,分层图,多路增广,Gap优化,主动标号等穷凶极恶的优化,更甚者在此之上狂搞个手动递归,于是产生了增广路算法的高效算法–ISAP算法。

  虽然ISAP算法的理论复杂度仍然不可超越高标预流推进,但其编程复杂度已经简化到发指,如此优化,加上不逊于Dinic的速率(在效率上手工Dinic有时甚至不如递归ISAP),我们没有不选择它的理由。

  因此本文强烈推荐ISAP作为网络流首选算法。

  其实现方法见下文,除去例行的添边操作,不超过50行的代码,何乐而不为之,以下实现仍有优化的余地(在计算初始标号时,为减小代码量直接忽略之,其复杂度不变,但实现后效率有5%左右的下降,如果乐意修正的话可以进行改良,当然不修正不影响算法正确性)。

 

typedef  struct {int v,next,val;} edge;
const int MAXN=20010;
const int MAXM=500010;

edge e[MAXM];
int p[MAXN],eid;

inline void init(){memset(p,-1,sizeof(p));eid=0;}

//有向
inline void insert1(int from,int to,int val)
{
e[eid].v=to;
e[eid].val=val;
e[eid].next=p[from];
p[from]=eid++;

swap(from,to);

e[eid].v=to;
e[eid].val=0;
e[eid].next=p[from];
p[from]=eid++;
}

//无向
inline void insert2(int from,int to,int val)
{
e[eid].v=to;
e[eid].val=val;
e[eid].next=p[from];
p[from]=eid++;

swap(from,to);

e[eid].v=to;
e[eid].val=val;
e[eid].next=p[from];
p[from]=eid++;
}

int n,m;//n为点数 m为边数
int h[MAXN];
int gap[MAXN];

int source,sink;
inline int dfs(int pos,int cost)
{
if (pos==sink)
{
return cost;
}

int j,minh=n-1,lv=cost,d;

for (j=p[pos];j!=-1;j=e[j].next)
{
int v=e[j].v,val=e[j].val;
if(val>0)
{
if (h[v]+1==h[pos])
{
if (lv<e[j].val) d=lv;
else d=e[j].val;

d=dfs(v,d);
e[j].val-=d;
e[j^1].val+=d;
lv-=d;
if (h[source]>=n) return cost-lv;
if (lv==0) break;
}

if (h[v]<minh) minh=h[v];
}
}

if (lv==cost)
{
--gap[h[pos]];
if (gap[h[pos]]==0) h[source]=n;
h[pos]=minh+1;
++gap[h[pos]];
}

return cost-lv;

}

int sap(int st,int ed)
{

source=st;
sink=ed;
int ret=0;
memset(gap,0,sizeof(gap));
memset(h,0,sizeof(h));

gap[st]=n;

while (h[st]<n)
{
ret+=dfs(st,INT_MAX);
}

return ret;
}



posted @ 2011-11-07 18:52  georgechen_ena  阅读(3154)  评论(2编辑  收藏