NOI 赛前模拟赛题目记录

260619 NOI 模拟赛 A（搜索顺序随机化）

题意

解决一个双方轮流执行操作共 \(2n\) 次，每次操作有 \(2\) 种选择的博弈 NP 问题，\(1\leq n\leq 16\)。

题解

直接爆搜的复杂度是 \(O(2^{2n})\)，不可接受，考虑随机化搜索的顺序。

具体地，若找到一个后继是必败态，则可直接确定当前为必胜态。

那么，一个必败态的后继期望个数是 \(2\)，一个必胜态的后继期望数是 \(1.5\)。

考虑连续两轮的期望次数，必败态为 \(2\times 1.5=3\)，必胜态为 \((1.5+3.5)/2=2.5\)。

则期望复杂度 \(O(3^n)\)。

260619 NOI 模拟赛 B（\(\max presum_i+key_i\) 刻画，SlopeTrick）

题意

给定 \(n\) 个元素 \((a_i,b_i)\)，保证 \(b_{i-1}\leq b_i\)，对每个 \(1\leq k\leq n\) 求 \(\max\limits_{S:S\in [1,n]\cap \Z\land |S|=k} V(S)\)。

\(V(S)\) 定义如下：

• 令 \(A,B\) 为将编号属于 \(S\) 的元素取出，按 \(b\) 降序排序后得到的序列。
• \(V(S)=\max\limits_{1\leq j\leq |S|}\left (B_j+\sum\limits_{i=1}^{j} A_i\right )\)

题解

给定下凸数组 \(f\)，每次倒序做 \(f_{i}+x\to f_{i+1}\)，则此操作相当于在 \(f\) 的差分数组第一个 \(>x\) 的位置前插入 \(x\)，函数仍然保持凸性。

刻画 \(\max presum_i+key_i\) 的经典方法是倒着增量维护。具体地，将 \(b\) 升序排序，令 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个元素选了 \(j\) 个的最小代价，转移：

\[\max(f_{i-1,j},b_i)+a_i\to f_{i,j+1} \]

写成滚动数组的形式，就是倒着做 \(\max(f_{j},b_i)+a_i\to f_{j+1}\)。

不难发现，若 \(f_j\leq b_i\)，则 \(f_j\) 之后都不会改变。

因此，我们只需要对满足 \(f_j>b_i\) 的后缀做 \(f_j+a_i\to f_{j+1}\)，并令第一个 \(>b_i\) 的位置对 \(b_i+a_i\) 取 \(\max\)。

考虑 SlopeTrick，固定的 \(f\) 肯定是一个前缀，每次对没有固定的一个后缀执行操作。

为了方便，我们在 SlopeTrick 的时候将最后一个 \(\leq b_i\) 的 \(f\) 视作 \(b_i\)，记这个 \(f\) 为 \(f_k\)，用堆维护 \(f_{k+1}-b,f_{k+2}-f_{k+1},\dots\) 的值。

每次操作就是往堆里放入当前的 \(a\)。当从 \(b_i\) 扫到 \(b_{i+1}\) 时，根据堆中信息弹出 \(\leq b_{i+1}\) 的 \(f\)。然后因为差分的基准变了，还需要修改堆顶 \(f_k-b_i\) 为 \(f_{k}-b_{i+1}\)（即减去 \((b_{i+1}-b_{i})\)）。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

260619 NOI 模拟赛 C（树的直径刻画，贪心，随机化二分）

题意

给定 \(\{a\}\)，进行不超过 \(k\) 次操作，每次选定 \(x\)，令 \(a_x\gets a_x-1\)，需保证 \(a_x\geq 1\)。

最小化 \(\max_{i<j} a_i+a_j+j-i\) 的值。

\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)，多测 \(T\leq 10\)，\(2\) 秒。

题解

本质上是一棵树，树的直径 \(\leq D\) 等价于存在一个点或边使得所有位置距离这个位置的距离 \(\leq \frac{D}{2}\)。

为了方便细节实现，进行如下转化，这个转化不是必须的，但是不转化实现会有细节问题：

1. 将所有 \(a_i\) 减 \(1\)，最后 \(ans\) 加上 \(2\)。
2. 在 \(1\) 的基础上，将所有 \(a_i\) 乘以 \(2\)，将所有 \(i,i+1\) 之间插入一个空节点，最后 \(ans\) 乘上 \(2\)。

转化 \(2\) 可能导致将 \(a_i\) 改成小数，因此可能需要进行处理。

此时直径中心一定在点上，枚举中心位置 \(x\)，二分答案 \(lim\)，对于 \(x\) 左侧有 \(a_j+x-(2j-1)\leq lim\) 即 \(a_j-(2j-1)\leq lim-x\)。右侧有 \(a_j+(2j-1)-x\leq lim\) 即 \(a_j+(2j-1)\leq lim+x\)。如果 \(x\) 在 \(a\) 所在位置，那么还需要加上这一位 \(a\) 的贡献。

按 \(x\) 扫描线，左侧右侧分别用数据结构维护 \(a_j-(2j-1)\) 和 \(a_j+(2j-1)\)。查询形如给定 \(w\)，求 \(\sum_{y\in DS} \max(0,y-w)\) 的值，可以 BIT 或线段树。这样就做到了双 \(\log\)。可以随机化 \(x\) 的顺序，使用可持久化线段树做到期望单 \(\log\)。

容易发现，只要保证 \(lim\) 和 \(x\) 奇偶不同，就不会出现把 \(a\) 改为小数的情况。

实际上不需要保证 \(lim\) 与 \(x\) 的奇偶不同。原因是如果出错，那么所有元素就会全部出错，这一点在 \(x\) 在某个 \(a\) 底下时仍然成立。

因此当出错时，\(lim\) 不变，\(x\) 往顶到边界的 \(a\) 个数非严格最多的方向移动一格，一定不劣。

还需要处理中心在某个 \(a\) 上面的情况。一个显然的事情是，如果中心不在 \(a\) 上，我们不会操作使得中心上移到某个 \(a\) 上，因为操作 \(a\) 更优。

所以最终中心在 \(a\) 上当且仅当开始中心也在 \(a\) 上，那么我们对此情况的最优操作就是操作最大的 \(a\) 连续 \(k\) 次，特判即可。

注意随机二分的进入条件应该是 ck(ans-1) 而不是 ck(ans)，后者复杂度多 \(\log\)。