离散时间信号与系统

离散时间信号与系统

做为数字信号处理的第一章，我首先学习了何为离散时间信号以及何为离散时间系统。基于这两个概念，又重点理解了线性时不变系统在本学科中的重要性，以及常用的差分方程。从复指数序列是LTI系统的特征函数的角度出发，这里引出了离散时间信号的频域表示和傅里叶变换的概念。最后简单提了一下随机信号的概念。

离散时间信号

信号：通常用于指代携带信息的某些东西，数学上指一个或多个独立变量的函数

离散时间信号：独立变量为离散的信号

数字信号：时间和幅度上都是离散的信号

单位样本(脉冲)序列\(\delta[n]\)，单位阶跃序列\(u[n]\)，前者可以参考

单位样本序列的优势在于，借助它，我们可以将任意一个序列表示为如下形式（卷积），这个形式便于我们理解系统如何处理信号————即处理一组幅度加权和延迟的单位样本序列的和

\[x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] \]

该信号的周期性和连续时间信号有明显差异（为何用复指数形式后面会说）：

\[x[n]=Ae^{jw_0n}=Ae^{jw_0(n+N)} \]

因为\(N\)必须为整数，因此要满足上式不能简单的用\(N=\frac{2\pi}{w_0}\)进行计算，而应为：

\[Nw_0=2\pi k \]

基波频率为\(\frac{w_0}{m}\)/\(\frac{2\pi}{N}\)，基波周期为\(\frac{2\pi m}{w_0}\) （m取使基波周期为正整数的第一个正整数）

离散时间系统

数学上离散时间系统可以定义为一种变换或算子，系统是以输入序列而非n为变量的函数（易混淆）：

\[y[n]=T\{x[n]\} \]

无记忆系统：只取决于当下，\(y[n]\)只和\(x[n]\)有关

线性系统：由叠加原理定义，输入和的变换等于输入变换之和

\[a_1y_1[n]+a_2y_2[n]=T\{a_1x_1[n]+a_2x_2[n]\}=a_1T\{x_1[n]\}+a_2T\{x_2[n]\} \]

时不变系统：输入的时移和输出的时移相对应。若出现伸缩变化，反转或变化系数则通常为时变系统。可以令\(g[n]=x[n-n_0]\)代入系统辅助判断

\[y[n-n_d]=T\{x[n-n_d]\} \]

因果性：当下是历史的积累，和未来无关，也不可预知未来。

\[y[n]只和x[n]\quad\quad n\le 0有关 \]

稳定性：有界输入必然产生有界输出

LTI系统

根据线性性质和离散时间序列的表示方法：

\[y[n]=T\{x[n]\}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]T\{\delta[n-k]\} \]

这里规定\(h[n]\)为单位脉冲响应，即系统对\(\delta[n]\)的响应，由时不变性，\(h[n-k]\)即系统对\(\delta[n-k]\)的响应。因此离散线性时不变系统可表示为：

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] \]

该式即为卷积和，用如下操作符表示：

\[y[n]=x[n]*h[n] \]

输出序列每一个样本的幅值和每一个输入序列样本值有关，可用如下方法辅助理解卷积计算：

\[h_2[k]=h_1[k-n]=h[n-k] \]

上式表示先将单位脉冲响应翻转，再向右平移\(n\)个单位，然后：

\[y[n]=\sum_k x[k]h_2[k] \]

LTI系统的性质

首先可由卷积公式直接推出交换律和结合律（线性性质的必然结果？）

稳定性：单位脉冲响应绝对可加是LIT系统为稳定系统的充分必要条件，证明

因果方面，根据卷积公式，\(k大于n\)时若还和\(x[k]\)有关就不是因果系统，即满足下式就必然为因果的：

\[h[n]=0\quad n<0 \]

线性常系数差分方程

这里从和微分方程的联系解释差分方程，我们知道齐次线性常系数微分方程为如下形式：

\[\sum_{k=0}^Na_k\frac{d^ky}{dt^k}=0 \]

但连续时间信号才有所谓对时间求导，对于离散时间，我们只能做差。但同时我们也知道离散信号可以通过对连续信号采样得到，那么我们将采样过程代入二阶微分（任意阶导数都可以如此表示）：

\[\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{y[n]-2y[n-1]+y[n-2]}{T^2} \]

表示完之后合并同类项即可得到齐次差分方程：

\[\sum_{k=0}^Nb_ky[n-k]=0 \]

利用z变换可以得出其特征方程，求出特征根后即可将通解表示成如下形式（\(C_k\)由其它辅助条件决定）：

\[y_h[n]=\sum_{k=1}^NC_kz_k^n \]

特解使用正常的z变换即可得到

频域表示

首先，在已知复指数序列是LTI系统特征函数的情况下（可直接代入求得），如果序列能分解为复指数基矢之和，那么LTI系统的响应就能自然转化为所谓频率响应（特征值），分别分析其幅度和相位函数即可了解系统的性质。

若输入\(x[n]\)为\(e^{jwn}\)的复指数形式，结合卷积的表达式，可得：

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]e^{jw(n-k)}=H(e^{jw})e^{jwn}=y[n]=H(e^{jw})x[n] \]

和连续信号不同的是，离散信号的频率响应是周期为\(2\pi\)的函数

如果输入不是全局复指数形式，而是中途加入，则可以通过将输出表示为稳态响应和暂态响应之和的方式分析，如果系统是稳定的，那么暂态响应就会在有限项下趋于零。也如LTI性质所示，稳定性意味着频率响应的存在（有界）

用傅里叶变换表示序列

在一个周期内“能量”有限的周期信号都可以用成谐波关系的信号和相应幅值表示（证明见信号与系统3.66），连续信号有无穷多个频率不同的谐波，但对于离散时间信号，只有\(N\)个。\(N\)为基波周期，\(w_0\)为基波频率：

\[x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jkw_0n} \]

\(a_k\)使用正交归一化技巧即可求得

\[a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jkw_0n} \]

至于非周期信号，可将之转化为周期信号的形式处理，此时的\(N\)即为该信号的长度，但鉴于\(N\)以外的\(x[n]\)为\(0\)，可将求和范围拓展为无穷远处（\(N\to \infty\)）：

\[\begin{align} x[n]&=\sum_{k=<N>}(\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jkw_0n}) e^{jkw_0n}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw\\ \end{align} \]

\(k\)的范围是\(N\)，\(N\)个\(w_0\)为\(2\pi\)，故\(w\)的积分范围为\(2\pi\)，注意\(dw\)指的是\(w_0\)。该表达式的意义为序列\(x[n]\)可由无数多个成谐波关系的复指数信号线性叠加得到，傅里叶变换\(X(e^{jw})\)记录了各个频率的信号所占的比重（幅值），也即\(x[n]\)是怎样由不同频率的复指数序列组成的。

\[X(e^{jw})=\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jwn} \]

此时再来看周期信号，可以使用\(\delta\)函数表示其傅里叶变换。可以发现，周期信号的傅里叶变换是周期的不同幅度加权的单位脉冲信号之和，若将之视为离散信号，就能和后面说的离散傅里叶变换联系起来

\[\begin{align} x[n]&=\sum_{k}a_ke^{jw_0n}\\ X(e^{jw})&=\sum2\pi a_k\delta[w-kw_0]\\ \end{align} \]

\[特殊的:\quad\mathcal{F}(\sum_{k}\delta[n-kN])=\frac{2\pi}{N}\sum_{k}\delta[w-kw_0] \]

对偶性

定理和性质

时移定理：

\[\begin{align} x[n-n_0]&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}e^{-jwn_0}dw\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}[e^{-jwn_0}X(e^{jw})]e^{jwn}dw\\ \mathcal{F}(x[n-n_0])&=e^{-jwn_0}X(e^{jw}) \end{align} \]

频移定理：

\[\begin{align} X(e^{j(w-w_0)})&=\sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}e^{jw_0n}\\ &=\sum_{n=\infty}(e^{jw_0n}x[n])e^{-jwn}\\ \mathcal{F}(e^{jw_0n}x[n])&=X(e^{j(w-w_0)}) \end{align} \]

时域扩展定理，\(x[an]\)会导致信号损失，而不是相连续时间序列那样无损压缩，所以得用\(x_k[n]=x[\frac{n}{k}]\)表示。同时\(x[\frac{n}{k}]\)只在\(n=rk\)时有意义，同时\(k\)取\(-1\)时为时间反转定理

\[\begin{align} X_k(e^{jw})&=\sum_{n=\infty}x_k[n]e^{jwn}\\ &=\sum_{r=\infty}x[r]e^{jwkr}\\ &=X(e^{jkw}) \\ \mathcal{F}(x[\frac{n}{k}])&=X(e^{jkw}) \end{align} \]

频域微分定理：

\[\frac{dX(e^{jw})}{dw}=-j\sum_{n=\infty}nx[n]e^{-jwn}\\ nx[n]=j\frac{dX(e^{jw})}{dw} \]

帕斯瓦尔定理：

\[\begin{align} \sum_{n=\infty}x[n]x^*[n]&=\sum_{n=\infty}x[n]\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X^*(e^{jw})e^{-jwn}dw\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X^*(e^{jw})\sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}dw\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{jw})|^2dw\\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{jw})|^2dw \end{align} \]

卷积定理，若考虑线性时不变系统的频域表示，系统的频率响应可以理解为\(x[n]\)不同谐波分量的幅值，从而直接得到结果。正规证明如下：

\[\begin{align} Y(e^{jw})&=\sum_{n=\infty}\sum_{k=\infty}x[k]h[n-k]e^{-jwn}\\ &=\sum_{k=\infty}x[k]\sum_{n=\infty}h[n-k]e^{-jwn}\\ &=\sum_{k=\infty}x[k]e^{-jwk}\sum_{n=\infty}h[n]e^{-jwn}\\ &=X(e^{jw})H(e^{jw}) \end{align} \]

调制或加窗定理

\[\begin{align} \mathcal{F}(x[n]w[n])&=\sum_{n=\infty}x[n]w[n]e^{-jwn}\\ &=\sum_{n=\infty}x[n]\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}W(e^{j\theta})e^{j\theta n}d\theta e^{-jwn}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}W(e^{j\theta})\sum_{n=\infty}x[n]e^{j(\theta-w)n}d\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}W(e^{j\theta})X(e^{j(w-\theta)})d\theta \end{align} \]

离散时间随机信号