9.13 考试 T2 区间

删区间

题意：

给出一个长度为𝑛的数组𝐴，你每次需要选出一个长度大于1的区间[𝑙, 𝑟]并删掉它，代价

是左右端点的元素之差的绝对值|𝐴𝑙 − 𝐴𝑟|，之后再将左右两个数组接起来构成一个新的数组。

你的任务是要求出删除整个数组的最小代价和。

题解：

40pts

暴力区间 dp

70pts：

设 \(f[i]\) 表示删完 \(1-i\) 这段区间的最小代价

转移时枚举这次删去的区间的左端点，在取个 \(min\) 就可以.

具体方程长这样

f[i] = min(f[i], f[j-1] + abs(a[i]-a[j])

100pts

观察一下上面的转移柿子，发现是不可以用单调队列优化的，一个取绝对值就很难处理。

当时考试的时候我就卡在这里没想出来，然后就暴力滚粗了。

实际上，我们的转移柿子可以写成这样：

𝑓[𝑖] = 𝑓[𝑗 − 1] − 𝐴𝑗 + 𝐴𝑖, 𝐴𝑗 ≤ 𝐴𝑖
f[i] = 𝑓[𝑗 − 1] + 𝐴𝑗 − 𝐴𝑖, 𝐴𝑗 > 𝐴𝑖

可以维护两棵权值线段树，一个维护最小值 \(f[j-1] - a[j]\) 一个维护 \(f[j-1] + a[j]\)

在 \(1-Ai\) 区间里取最小值 \(f[j-1] - a[j]\) 在 \(Ai - \infty\) 区间里取最小值 \(f[j-1] + a[j]\)

最后不要忘记把权值离散化；

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e5+10;
const int inf = 1e13;
int n,tot,f[N],a[N],h[N],rk[N],tr[N<<2][2];
inline int read()
{
	int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s =s * 10+ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void up(int now,int o)
{
	tr[o][now] = min(tr[o<<1][now],tr[o<<1|1][now]);
}
void build(int now,int o,int L,int R)
{
	tr[o][now] = inf;
	if(L == R)
	{
		tr[o][now] = inf;
		return;
	}
	int mid = (L + R)>>1;
	build(now,o<<1,L,mid);
	build(now,o<<1|1,mid+1,R);
}
void chenge(int now,int o,int L,int R,int x,int val)
{
	if(L == R)
	{
		tr[o][now] = min(tr[o][now],val);
		return;
	}
	int mid = (L + R)>>1;
	if(x <= mid) chenge(now,o<<1,L,mid,x,val);
	if(x > mid) chenge(now,o<<1|1,mid+1,R,x,val);
	tr[o][now] = min(tr[o<<1][now],tr[o<<1|1][now]);
}
int query(int now,int o,int L,int R,int l,int r)
{	
	int res = inf;
	if(l <= L && r >= R) return tr[o][now];
	int mid = (L + R)>>1;
	if(l <= mid) res = min(res,query(now,o<<1,L,mid,l,r));
	if(r > mid) res = min(res,query(now,o<<1|1,mid+1,R,l,r));

	return res;
}
signed main()
{
//	freopen("remove.in","r",stdin);
//	freopen("remove.out","w",stdout);
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		a[i] = h[i] = read();
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	tot = unique(a+1,a+n+1)-a-1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		rk[i] = lower_bound(a+1,a+tot+1,h[i])-a;
	}
	build(0,1,1,tot); build(1,1,1,tot);
	f[1] = inf;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{	
		chenge(0,1,1,tot,rk[i-1],f[i-2] - h[i-1]);
		chenge(1,1,1,tot,rk[i-1],f[i-2] + h[i-1]);
		int t1 = query(0,1,1,tot,1,rk[i]) + h[i];
		int t2 = query(1,1,1,tot,rk[i],tot) - h[i];
		f[i] = min(t1,t2);
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}