bzoj 4804 欧拉心算

题面：

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一句话题意：

给出 \(k\) 组询问，每次给你一个 \(n\) ，让你回答 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(gcd（i，j)\)

题解

下面，又到了我们的颓柿子时间啦。

我们要求的是这个柿子:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(gcd（i，j)\)

先枚举一个 \(d\) 可得：

\(\displaystyle\sum_{d=1}^{n}\phi(d) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} [gcd(i,j) == d]\)

后面的那两个求和柿子可以提出一个 \(d\) 来，变成：

\(\displaystyle\sum_{d=1}^{n} \phi(d) \sum_{i=1}^{n\over d}\sum_{j=1}^{n\over d} [gcd(i,j) == 1]\)

后面的柿子有没有觉得有点熟悉？

如果你做过 仪仗队 ，你就会一眼把他秒了。

我们有一个等式： \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j) == 1] = \sum_{i=1}^{n}2 \times \phi(i) - 1\)

具体证明：

首先对于一个 \(i\)， 与他互质的个数 是 \(\phi(i)\) ，又因为 （i，j） 和 （j, i）这两个数对算两个，所以要乘二，减一则是要减去算重复的1.

对于 \(i \leq j\) 的情况有 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j) == 1] = \sum_{i=1}^{n} \phi(i)\)

对于 \(i >= j\) 的情况同理，最后在减去重复计算的 1

把这个等式代回原来的柿子，可以化简为:

\(\displaystyle\sum_{d=1}^{n}\phi(d) \sum_{i=1}^{n \over d} 2 \times \phi(i) - 1\)

他还可以化为

\(\displaystyle(\sum_{d=1}^{n} \phi(d) (2 \times sum[{n \over d}])) - sum[n])\)

对后面的求和柿子，可以预处理出来 \(\phi\) 函数的前缀和。，在用一下数论分块，枚举每个 \(d\) 即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1e7+10;
int t,n,m,tot;
int prime[N],phi[N];
LL sum[N];
bool check[N];
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch;
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s =s * 10+ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void YYCH()
{
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N-5; i++)//预处理φ函数值
	{
		if(!check[i])
		{
			prime[++tot] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N-5; j++)
		{
			check[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
			}
			else
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= N-5; i++)//求前缀和
	{
		sum[i] = sum[i-1] + phi[i];
	}
}
LL slove(int n)
{
	LL res = 0;
	for(int l = 1,r; l <= n; l = r + 1)//数论分块
	{
		r = n/(n/l);
		res += 1LL * 2 * (sum[n/l]) * (sum[r]-sum[l-1]);
	}
	res -= sum[n];
	return res;
}
int main()
{
	t = read(); YYCH();
	while(t--)
	{
		n = read();
		printf("%lld\n",slove(n));
	}
	return 0;
}