虚树

虚树

什么是虚树???!!!

一听这名字就感觉是个玄学东西,第一次听到这个名词还是在任轩笛大佬讲课时听到的。。。当时本来就快在坐飞机了,然后看到这个名词后,我想我应该真的起飞了。。。

然后又是凯爷图论专讲时听了虚树(不要问我为什么在图论里。。。),感觉好像有点头绪,以为第二天会考虚树,然后就恶补,然而还是花了好久才懂了。。。

那么什么是虚树,是个玄学东西吗?

虚树也是一种树吧(虽然网上很多人说这不是树,但我觉得不应该因为叫虚树就歧视别人。。。),对于一棵很大的树,我们直接在上面进行操作时(一般是树形动规)往往复杂度会很爆炸,然而我们会发现询问的点其实很少,这些点我们称之为关键点,发现大部分不查询的点其实都是没有用的,我们只需要根据关键点建立一棵更小的树,然后只用维护关键点的信息,然后在虚树上DP就很妙妙了。

 

为了和谐,我们来直观地感受一下...比如这里我生成了一棵20个点的树。蓝色的是询问点。红色点就会在虚树上。

 

imageimage

 

观察这些虚树上的点,我们发现我们似乎是需要把询问点按dfs序排序一下,然后把相邻点取个lca然后乱搞一下?

 

听起来好像很有道理,不过这TM能写?

 

基于这样的想法,我们来考虑另外一种做法,我们用一个栈来维护虚树的“当前这一坨东西”...例如我们在栈中加入了18。然后接下来打算加入一个16。

 

我们现在发现这个栈顶的lca,也就是2,是有用的,那么我们现在就要把18弹掉,换成2,然后再扔进去一个16。

 

接下来我们要加一个20,那么它与栈顶的lca为2。我们就考虑16,16是没用的,把它弹掉,然后看见2,正好就是lca,就保留。

 

类似这样我们可以发现开始把所有询问点加入虚树后,我们把询问点按dfs序排个序,这时栈里面应该维护一个奇怪的玩意,先计算一个新加的点与栈顶的lca,然后如果一个栈里的东西一直都“没用”,也就是深度比这个lca来得大,就一直弹出栈顶,最后如果栈顶不是lca,就把lca加入栈,并且加入虚树,然后再加入这个点。

 

这样我们就可以求出虚树啦,同时我们也可以得到虚树上每一个点的父亲节点。

当然上面只是让你对虚树有个大致了解,不过要是你没有大致了解的话,下面可能有点伤。。。(万一你是大佬。。。当我没说)

我们以一道题为例:

题目传送门

首先看到这道题我们会想到每次O(n)去DP,发现对于一个非关键点我们有两种选择,一个是将其与祖先节点的路径上的最短边断了,或者将子树中的所有关键点断了,对于关键点,显然你只能将其祖先节点的路径上的最短边断了。总的复杂度O(n*q),然后我们考虑用虚树去优化。

我们需要维护的就是每个节点到根节点的路径上的最短边,然后建立虚树,这个信息在虚树上仍可以使用。

怎么构建虚树

维护一个栈,表示从根到栈顶元素的这条链
我们新加入一个节点记为x,链的末端,即栈顶,为p,lca为lca(x,p),
有两种情况:
  1.p和x分立在lca的两棵子树下.
  2.lca是p.
  为什么lca不能是x?
   因为如果lca是x,说明dfn[lca]=dfn[x]<dfn[p],而我们是按照dfs序号遍历的,于是dfn[p]<dfn[x],矛盾.)
对于第二种情况,直接在栈中插入节点x即可,不要连接任何边(会在之后构建时才连边).
对于第一种情况,要仔细分析.
我们是按照dfn遍历的(因为很重要所以多说几遍......),有dfn[x]>dfn[p]>dfn[lca].
这说明什么呢? 说明一件很重要的事:我们已经把lca所引领的子树中,p所在的子树全部遍历完了!
  简略的证明:如果没有遍历完,那么肯定有一个未加入的点h,满足dfn[h]<< dfn[x],
        我们按照dfs序号递增顺序遍历的话,应该把h加进来了才能考虑x.
这样,我们就直接构建lca引领的,p所在的那个子树. 我们在退栈的时候构建子树.
p所在的子树如果还有其它部分,它一定在之前就构建好了(所有退栈的点都已经被正确地连入树中了),就剩那条链.
如何正确地把p到lca那部分连进去呢?
设栈顶的节点为p,栈顶第二个节点为q.
重复以下操作:
  如果dfn[q]>dfn[lca],可以直接连边q->p,然后退一次栈.
  如果dfn[q]=dfn[lca],说明q=lca,直接连边lca->p,将x弹出,此时子树已经构建完毕.
  如果dfn[q]< dfn[lca],说明lca被p与q夹在中间,此时连边lca->p,退一次栈,再把lca压入栈.此时子树构建完毕
最后,为了维护dfs链,要把x压入栈. 整个过程就是这样,然后我们就可以树上DP了。

最后再放上一张动图,然你更好地理解虚树:

这里再提一下每次重构虚树的小优化我们只需要在DP时,在访问完一个节点的所有出边后,把head数组清零即可


 

 【代码实现】

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cctype>
  5 #include<queue>
  6 using namespace std;
  7 void read(int &v)
  8 {
  9     int f;char ch;
 10     while(!isdigit(ch=getchar())&&ch!='-'); ch=='-'?(f=-1,v=0):(f=1,v=ch-'0');
 11     while(isdigit(ch=getchar())) v=v*10+ch-'0';v=v*f;
 12 }
 13 const int N=250005;
 14 const long long INF=1e12+7;
 15 struct sd{
 16     int next,to,w;
 17 }edge[2][N<<1];
 18 int head[2][N],dep[N],dfn[N],stk[N],pos[N],up[N][21],n,m,cnt;
 19 long long dp[N],exp[N];
 20 bool cmp(int a,int b) {return dfn[a]<dfn[b];}
 21 void add_edge(int from,int to,int w,int opt)
 22 {
 23     if(from==to) return;
 24     edge[opt][++cnt].next=head[opt][from];
 25     edge[opt][cnt].to=to;
 26     edge[opt][cnt].w=w;
 27     head[opt][from]=cnt;
 28 }
 29 void pre_work(int v,int ff)
 30 {
 31     dfn[v]=++cnt,up[v][0]=ff,dep[v]=dep[ff]+1;
 32     for(int i=1;i<=20;i++) up[v][i]=up[up[v][i-1]][i-1];
 33     for(int i=head[0][v];i;i=edge[0][i].next)
 34     {
 35         int to=edge[0][i].to;
 36         if(to!=ff) 
 37         exp[to]=min(exp[v],(long long)edge[0][i].w),pre_work(to,v);
 38     }
 39 }
 40 int LCA(int a,int b)
 41 {
 42     if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
 43     int len=dep[a]-dep[b];
 44     for(int i=20;i>=0;i--) if(len&(1<<i)) a=up[a][i];
 45     if(a==b) return a;
 46     for(int i=20;i>=0;i--) if(up[a][i]!=up[b][i]) a=up[a][i],b=up[b][i];
 47     return up[a][0];
 48 }
 49 void build(int mx)
 50 {
 51     cnt=0;
 52     int top=0;
 53     sort(pos+1,pos+1+mx,cmp);
 54     int tot=0;
 55     pos[++tot]=pos[1];
 56     for(int i=2;i<=mx;i++)
 57     if(LCA(pos[tot],pos[i])!=pos[tot]) pos[++tot]=pos[i];
 58     stk[++top]=1;
 59     for(int i=1;i<=tot;i++)
 60     {
 61         int now=pos[i],lca=LCA(now,stk[top]);
 62         while(1)
 63         {
 64             if(dep[lca]>=dep[stk[top-1]])
 65             {
 66                 add_edge(lca,stk[top--],0,1);
 67                 if(stk[top]!=lca) stk[++top]=lca;
 68                 break;
 69             }
 70             add_edge(stk[top-1],stk[top],0,1),top--;
 71         }
 72         if(stk[top]!=now)stk[++top]=now;
 73     }
 74     while(--top) add_edge(stk[top],stk[top+1],0,1);
 75 }
 76 void DP(int v)
 77 {
 78     long long tmp=0;dp[v]=exp[v];
 79     for(int i=head[1][v];i;i=edge[1][i].next)
 80     {
 81         int to=edge[1][i].to;
 82         DP(to);
 83         tmp+=dp[to];
 84     }
 85     head[1][v]=0;
 86     if(tmp) dp[v]=min(dp[v],tmp);
 87 }
 88 int main()
 89 {
 90     int a,b,c,k;
 91     read(n);
 92     for(int i=1;i<n;i++)
 93     read(a),read(b),read(c),add_edge(a,b,c,0),add_edge(b,a,c,0);
 94     cnt=0,exp[1]=INF,pre_work(1,0);
 95     read(m);
 96     for(int i=1;i<=m;i++)
 97     {
 98         read(k);
 99         for(int j=1;j<=k;j++)
100         read(pos[j]);
101         build(k);
102         DP(1);
103         printf("%lld\n",dp[1]);
104     }
105     return 0;
106 }

 

posted @ 2018-07-22 16:08  genius777  阅读(181)  评论(0编辑  收藏  举报